最尤推定量の問題

質問

θの最尤推定量を求めよという問題ですが、分からない問題があったので教えてください。

f(x;θ)=e^(-(x-θ)) (x＞θ;-∞＜θ＜∞)

logを取って、微分して計算したところ、同時確率密度が単調増加ということが分かったんですが、そこから先に進めなくて困っています。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

全てのiについてθ < x_iですので、
θ<min{x_1,x_2・・・,x_n}
を満たすθのうち最大のものが最尤推定量になります。

しかし、

> 条件にもイコールがないので、

最大値は存在しません。
あるのは上限
min{x_1,x_2・・・,x_n}
だけです。

従って、解答するなら、「θの最尤推定量は上限でしか求められず、それは標本の最小値である」とでもするしかないでしょうね。
x≧θとしてくれれば何も悩む必要はないんですが・・・

回答No.1

noname#227064

> 同時確率密度が単調増加

そこは、（対数）尤度関数がθに関して単調増加と書いて欲しいところですが、答えまであともう少しのところまで来てますね。
これは、θが大きいほど尤度関数も大きくなるということなので、尤度関数を最大にするにはθを最大にすれば良いことになります。

ではθはどこまで大きくできるのでしょうか？
確率密度関数の定義をもう一度よく見てみましょう。

f(x;θ)=e^(-(x-θ)) (x＞θ;-∞＜θ＜∞)

「x＞θ」となっていますので、θはxよりも大きな値にはなれません。
ということは、どうなるでしょうか？
あとは一度ご自分で考えてみてください。
「x≧θ」ではないので少し悩むかもしれませんね。

補足

x_iは任意なので、x_iのもっとも小さいものより、小さいものなら何でもよい、ということで

θ<min{x_1,x_2・・・,x_n}
条件にもイコールがないので、ここでもイコールをつけずに＜を用いる。

でいいのでしょうか？