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最尤推定量について

ラプラス分布の最尤推定量は標本中央値らしいのですが 導けません。導き方を教えてください。 密度関数を f(x)=｛exp(-|x-θ|)｝/2 とします。よろしくお願いいたします。

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noname#227064
noname#227064
回答No.1

そのラプラス分布に従う確率変数をXi(i=1～n)とすると、対数尤度は log Πf(xi) = log Π{exp(-|xi-θ|}}/2 = -Σ|xi-θ|-nlog2 = -Σ√(xi-θ)^2-nlog2 となり、これをθについて微分すると、 (d/dθ){log Πf(xi)} = Σ(xi-θ)/√(xi-θ)^2 = Σsgn(xi-θ)　(xi≠θ) ここで、sgn(xi-θ)はxi-θが正なら1、負なら-1、0なら0となる関数を意味します。 θが中央値のとき Σsgn(xi-θ) = 0 となるので、中央値が最尤推定量であることがわかります。

buimiu
質問者

お礼

ありがとうございます。 とても丁寧で分かりやすかったです。 助かりました。ありがとうございました。

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