最尤法について

質問

現在、独学で最尤法について勉強しています。その中で、少し疑問に思った事があり質問させていただきました。
最尤法について調べると、

・最尤法は、尤度と呼ばれる量を最大化する事で、確率分布のパラメータを推測する方法。
・尤度関数が最大となるパラメータ値を求める。

などの記述があり、母集団が正規分布に従うとき標本の値から正規分布のパラメータを推測する例題などがありました。

概念としては理解できているつもりなのですが、何故最尤法が必要となってくるのかがピンときません。
というのも、例えば正規分布のパラメータを知りたいのならば、最尤法を用いなくても「平均値」「分散」という統計量を標本値から求めてしまえば良いのではないでしょうか。他の分布についても、ほとんどの分布は統計量からパラメータを求める事が出来るのではないのでしょうか。

そういった疑問を踏まえて、次の二点について悩んでいます。
・最尤法によって求められるパラメータ値は統計量から直接求められるパラメータ値と同じものになるのか？（使用する標本は同じもの）
・もし同じものならば、最尤法を利用すべき状況とは一体何なのか。
（自分としては、統計量から求められるパラメータがどれぐらい正しいのかをcheckするぐらいしか利用価値が無いのではないかと思っています。）

まだまだ勉強し始めて日も浅いので、もしかすると的外れな疑問なのかもしれませんが、お答えいただけると助かります。

回答No.1

noname#227064

まず確認したいのですが、

> ・最尤法によって求められるパラメータ値は統計量から直接求められるパラメータ値と同じものになるのか？（使用する標本は同じもの）

このパラーメータ値というのはパラメータの推定値のことですよね？
統計量から直接求められるパラメータの推定値とは最尤法以外の方法による推定値のこととですよね？
最尤法以外といってもいろいろ考えられ、あなたの言うところの統計量がなんなのかわかりませんが、不偏推定量ということで良いでしょうか？

と、質問に対して質問で返してしまいましたが、疑問の答えとしては、「同じ場合もあるし異なる場合もあります」となります。
例えば、二項分布の母比率や正規分布の母平均の推定の場合、最尤推定量と不偏推定量は一致します。
正規分布の母分散の推定なら、最尤推定量はΣ(X_i-Xbar)^2/N、不偏推定量はΣ(X_i-Xbar)^2/(N-1)で異なります。
（XbarはX_1～X_Nの平均とします）

> 例えば正規分布のパラメータを知りたいのならば、最尤法を用いなくても「平均値」「分散」という統計量を標本値から求めてしまえば良いのではないでしょうか。他の分布についても、ほとんどの分布は統計量からパラメータを求める事が出来るのではないのでしょうか。

先にも書いたようにあなたの言うところの統計量がいろいろ考えられるので答え難いのですが、最尤法以外の推定量だと不合理な場合もあるというのが答えの一つでしょうね。