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回帰係数の有意性の検定

線形回帰式 y=b0+Σ[i=1~p]bi・xi y:被説明変数 xi:説明変数 bi:係数 があり、N組のデータからbiの最尤推定量 bi~ を求めるとします。 この bi~ の有意性を検定する場合、bi~ が最尤推定量の漸近正規性から、以下の正規分布に従っているとみなします。 N(bi★,σ^2) (bi★は真のパラメータ、分散σ^2は未知) 次に以下の仮説検定を行います。 帰無仮説 H0:bi★=0 対立仮説 H1:bi★≠0 ここでは bi~ の分散が未知なので、bi~ の標本分散 s^2 を用いて 以下のt統計量により検定を行います。 t=bi~/(s/√N) ~ 自由度N-1のt分布 以上のような解説を聞いたのですが 最尤推定量 bi~ はN個のデータから1回推定を行っただけなので 標本は1個しかありませんよね? だったら、標本分散s^2って計算できない気がするのですが… 私の理解のどこがおかしいでしょうか?

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  • 回答No.1

N(bi★,σ^2) (bi★は真のパラメータ、分散σ^2は未知) という事は、各bi~(i=0,...,p)が平均は異なるが、分散は等しい正規分布に従うという事になりますね。 これは、一般には正しくありません。 y=b0+Σ[i=1~p]bi・xi+ei (eiは攪乱項)なる線形回帰モデルがあり、 攪乱項eiの分布が正規分布N(0,σ^2)であると仮定し、その仮定の下に最尤推定量を求めるのではないでしょうか? 表記の簡単化のために、求めるパラメータをベクトルにまとめ、 b=(b0,...,bp)' とすると、最尤推定量の漸近的正規性から、b~は以下の分布に漸近的に従います。 b~~N(b★、E(I(b★))^(-1) ) 但し、E(I(b★))は対数尤度関数のHessian行列にマイナスを付けたもの。 各bi~は、E(I(b★))^(-1)のi番目の対角成分を分散として持ちます。

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