不偏分散の分布は？

質問

不偏分散の分布について混乱していますので、ご助言頂けましたら幸甚です。

例えば母集団の分布を正規分布N(μ,σ^2)とした際、
標本平均x(=1/nΣxi)を区間推定する場合、正規分布の再帰性より、標本平均の分布はN(μ,(σ/√n)^2)となることから、μの区間推定が可能と理解しています。

また、若干やり様は異なりますが、標本分散s^2=1/nΣ(x-xi)^2に対し、ns^2/σ^2がΧ2分布に従うことから、σの導出が可能と理解しています。

ここで、上記と同様に、不偏分散(=1/n-1Σ(x-xi)^2)についての分布とは、どのような分布になるのでしょうか？
おそらくΧ2分布になると推察しますが、証明できてません。

また、不偏分散の導出方法は、
E[S^2]、即ちS^2の平均と理解していますが、
S^2を確率変数とした際の分布がΧ2分布なのであれば、
このΧ2分布の平均が、不偏分散になってもよさそうですが、
Χ2分布の平均＝n ですので、不偏分散とは不一致です。

上記のとおり、整理がついておりませんので、教えて頂けましたら助かります。
特に上記のとおり混乱しておりますので、現在はむしろ、「不偏分散については、点推定でのみ用いるのか？」と考えております。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

先のお二人の回答者と重複する部分がありますが、ご容赦願います。

> ここで、上記と同様に、不偏分散(=1/n-1Σ(x-xi)^2)についての分布とは、どのような分布になるのでしょうか？
> おそらくΧ2分布になると推察しますが、証明できてません。

不偏分散 = Σ(xi-x)^2/(n-1) = {σ^2/(n-1)} * ns^2/σ^2
で、ns^2/σ^2が自由度n-1のχ^2分布に従うことから、不偏分散は自由度n-1のχ^2分布の横軸をσ^2/(n-1)倍に拡大して、縦軸を(n-1)/σ^2倍に拡大した分布に従います。
ちなみに標本分散は、
標本分散 = Σ(xi-x)^2/n = {σ^2/n} * ns^2/σ^2
であることから、自由度n-1のχ^2分布の横軸をσ^2/n倍に拡大して、縦軸をn/σ^2倍に拡大した分布に従います。
あくまでもχ^2分布に従うのは、ns^2/σ^2であって不偏分散や標本分散ではありません。

自由度n-1のχ^2分布の期待値がn-1となることから、
E[不偏分散] = E[{σ^2/(n-1)} * ns^2/σ^2] = {σ^2/(n-1)} * E[ns^2/σ^2] = {σ^2/(n-1)} * (n-1) = σ^2
E[標本分散] = E[{σ^2/n} * ns^2/σ^2] = {σ^2/n} * E[ns^2/σ^2] = {σ^2/n} * (n-1)
となります。

> 特に上記のとおり混乱しておりますので、現在はむしろ、「不偏分散については、点推定でのみ用いるのか？」と考えております。

不偏分散も標本分散の分布もχ^2分布を上述のように拡大縮小したものですので、これを利用すれば区間推定もできます。

お礼

quaestio様。
ご回答有難う御座います。お返事遅くなり、恐縮です。
時間余裕がなく申し訳ありませんが、後ほどしっかり読ませて頂きます。
また質問した際は、お答え頂ければ助かります。
まずは、ご回答の御礼まで。

補足

遅くなりましたが、理解致しました。
有難う御座いました。

回答No.2

arrysthmia

まず、知識の確認。
標準正規分布に従う母集団からの標本について、
χ^2 分布に従うのは、標本分散ではなく、
不偏分散のほうです。
その χ^2 分布の自由度がいくつかを考えれば
覚えやすいし、
疑問が残るなら、正規分布の確率密度関数から、
それぞれの分散の確率密度関数を求めてみれば判る。

E[S^2] に関する話は、E[ ] が線形ですから、
E[S^2] = (σ^2/n) E[n s^2/σ^2] = (σ^2/n) n = σ^2
となって、
n s^2/σ^2 の従う χ^2 分布の平均が n であることが、
E[S^2] = σ^2 の根拠になります。

回答No.1

Willyt

不偏分散は簿分散の推定値ですから、自由度が一つ下がりますよ。ですから割る数はｎ－１になります。