• ベストアンサー
  • 困ってます

X,Yは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ^2(シグマの2乗)とする。

X,Yは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ^2(シグマの2乗)とする。 aX+bYがμの不偏推定量で、その分散を最小にするa,b の値を求めよ という問題が分かりません。 私なりに考えてみたものの、 正規母集団からの標本分布がN(aX+bY,σ^2/2)になることしか分かりません。あってますか?? どなたか分かりやすく教えて下さい。

noname#130124
noname#130124

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

そもそも正規分布しているものかもわからないのでは? 一般に期待値が離散変数について E[X]=Σxipi...(1) のようにあらわせるのはよいですね。xiは変数のとる値であり、piはその値が出てくる確率です。この場合は期待値は平均値になっています。n個の集合についてすべてのpiが等しくて(1/n)ならば(1)は標本の総和をnで割る形になっています。平均値をμとして、 E[(X-μ)^2]=Σpi(xi-μ)^2=σ^2...(2) となり標準偏差になっているのもO.K.ですね。この計算の性質上 E[(X-μ)^2]=E[X^2-2μX+μ^2]=E[X^2]-2μE[X]+μ^2=E[X^2]-2μ^2+μ^2=E[X^2]-μ^2...(3) になります。(2),(3)から E[X^2]-μ^2=σ^2 となります。更にもしXとYが互いに独立であるならば E[XY]=E[X]E[Y]...(4) というのは、互いに独立な変数ということの定義です。 さて問題に入ります。 E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]=aμ+bμ=(a+b)μ...(5) これがμに等しいというのですから a+b=1...(6) です。分散はμがaX+bYの期待値(平均値)でありますのでaX+bYの分散をSと書けば、 S=E[(aX+bY-μ)^2]=E[a^2X^2+b^2Y^2+μ^2+2abXY-2aXμ-2bYμ] =a^2E[X^2]+b^2E[Y^2]+μ^2+2abE[XY]-2aμE[X]-2bμE[Y]...(7) ここでE[X^2]=μ^+σ^2、E[XY]=E[X]E[Y]=μ^2などを使っていきます。 S=(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abE[X]E[Y]-2aμ^2-2bμ^2 =(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-(2a+2b)μ^2...(8) (6)よりa^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab S=(1-2ab)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-2μ^2 =(1-2ab)(μ^2+σ^2)+(2ab-1)μ^2 =(1-2ab)σ^2...(9) となります。ここでまた(6)を使えば S=(1-2a(1-a))σ^2=(1-2a+2a^2)σ^2...(10) となります。1-2a+2a^2の最小値を求めるのは容易で、たとえばこれを微分すれば-2+4aですからa=1/2で最小となります。この時b=1/2です。そして(10)よりS=(1/2)σ^2になります。なんだか当たり前の結果ですが。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • Excel での母分散推定について

     母平均 169.6、母分散 66.5 の正規母集団 1000 個のデータから無作為抽出した 20 個の標本の標本分散(不偏分散)s^2 は 64.2 だった。  いま、母分散σ2は未知であるとして、σ2 の信頼区間を信頼度95%で推定する。  自由度 19 のカイ二乗分布両側 0.05% 点を k1、k2 とすると   k1 = CHIINV(1-0.05/2,19) ≒ 8.91(下側)   k2 = CHIINV(0.05/2,19)  ≒ 32.85(上側) であるから   (19*64.2)/32.85 ≦σ^2 ≦ (19*64.2)/8.91   19*64.2/32.85 ≒ 37.13   19*64.2/8.91 ≒ 136.90   ∴37.13≦σ^2≦136.90  確かに母分散 66.5 はこの範囲に入っていますが、感覚的にはずいぶんアバウトに感じます。こんなものなのでしょうか?

  • 正規母集団でないときの標本平均と標本分散の独立性

    こんにちは。 正規母集団であるとき、標本平均と標本分散の分布が独立であることは、直交変換によって証明することができますが、 非正規母集団であるときは、標本平均と標本分散の独立性は必ずしも成り立たないということでよろしいでしょうか。 また、正規分布以外の分布で、標本平均と標本分散が独立であるような母集団分布をご存知であれば教えて頂きたいのですが。 よろしくお願い致します。

  • 正規母集団の標本平均と標本分散の独立性

    X_1,…,X_nを正規母集団から取った大きさnの標本とします。 簡単のため、母集団の平均は0、分散は1と仮定します。 このとき標本平均X=(X_1+…+X_n)/nと 標本(不偏)分散s=((X_1-X)^2+…+(X_n-X)^2)/(n-1) を考えます。 Xは平均0、分散1/nの正規分布に、 (n-1)sは自由度n-1のχ^2分布に従うと思いますが、 このXとsの独立性の証明はどうやったらよいのでしょうか? 結合分布の計算にX_i^2が混じるので大変に面倒です。 非芯χ^2分布の特性関数の計算などを使うのでしょうか。 方針は立つものの、あまりに煩雑な計算になりそうで尻込みしています。 簡便な計算法をご存知であれば教えていただきたく思います。 よろしくお願いします。

  • 社会統計について質問です。

    友人に社会統計学について、質問を受けました。 私は心理学科なので、心理統計しか分からず、困っています。 どなたか助けてください。 以下のような問題です。 体重に関して正規分布N(μ,σ二乗)に従う母集団から、無作為抽出によって以下の16の標本を得た。 62,50,60,48,62,59,36,64,64,62,87,63,75,27,65,76 (1)標本平均、不偏標本分散、不偏標本標準偏差を求めよ。 (2)母平均の最尤推定値(最尤推定量の実現値)を求めよ。 (3)母分散は既知とする。このとき標本平均の標本分布はどのような分布に従うか。「確立変数~確率分布」という形式で答えよ。 (4)母分散は未知であるとする。このとき、母平均の95%信頼区間を求めよ。 (5)母平均は未知であるとする。帰無仮説をHo:μ=52としたとき、適切な検定統計量を求め、5%水準両側検定、1%水準両側検定、5%水準右片側検定、1% 水準右片側検定をそれぞれ実施せよ。 (7)さらに、体重に関して正規分布する別の母集団から、無作為抽出して以下の16の標本を得た。2つの母集団の母分散は未知であるが、母分散は同じであると仮定して良い。「2つの母平均は等しい」を帰無仮説として、母平均の差に関する5%水準両側検定を実施せよ。(ヒント:t0.025(30)=2.042) 65,60,57,76,79,72,57,75,54,75,42,77,38,48,71,78 よろしくお願いします。

  • 「標本平均の分散」についての質問です.

    「標本平均の分散」についての質問です. 「母集団からn個のデータを無作為抽出する.すると,サンプルサイズnの標本ができ,標本平均が計算できる.これを,標本平均1としよう.この作業を何度も繰り返し,標本平均2,標本平均3・・・と,多数の標本平均を集める.これらの標本平均の分散は,母分散のn分の1(母分散/n)である」という説明をある本で読みました. では,極端な話,1000個のデータからなる母集団(有限母集団)から,サンプルサイズ1000個(母集団サイズと同じ)の標本をいくつも作ったとします.標本平均は,いつも母平均そのものであり,よって,標本平均の分散は0です.母分散/1000とはなりません. 上記の説明が間違っているのでしょうか?私が何か勘違いをしているのでしょうか?それとも,説明は無限母集団を対象としている,とか,母集団サイズとサンプルサイズが一致するような抽出は想定されていない,と言った理由があるのでしょうか?

  • 標本平均の二乗の分散とは

    成功確率pのベルヌーイ分布に従う確率変数X1,X2,,,,Xnはそれぞれ独立であるときこの標本平均Y=(X1+X2+,,,,+Xn)/nを標本平均といいますが、このときY^2の分散を求めたいのですがいいアイデアはありますか??ありましたら教えてください。

  • 標本分散と不偏分散

    平方和で、個々の測定値と平均値の差の2乗(偏差の絶対値の2乗?)の総和を出せますね。その総和から、測定値と平均値の差の2乗の平均を出したものが標本分散。 単なる平均よりは余裕を持って出した平均(平均値の一部をn-1等分で振り分け?)が不偏分散ですか? また、不偏分散と標本分散は実際、どちらも使われるのでしょうか。 宜しくお願いします。

  • 正規分布に従うときの母平均と母分散の求め方

    今、数千件のデータを解析しています。 ヒストグラムから、それぞれの時点のデータが正規分布に従うことが分かりましたので、母集団も正規分布に従う、という仮定の下で話を進めます。 各時点での平均と標準偏差をプロットしたところ、右上がりの一次関数になり、一定の値にはなりませんでした。 そこで、このような場合(標本平均も標本分散も一定の値にならない)、どうやって全体の母集団のパラメータを推定するのでしょうか。 教えてください。

  • 標本分散が母分散より少し小さくなる理由、不偏分散をn-1でわる理由

    お世話になっております。 統計学初心者で、母平均の信頼区間の推定について勉強しています。 勉強している中で、標本分散が母分散より少し小さくなるということ、 そのため標本分散ではなく不偏分散を利用し、不偏分散の算出は偏差平方和、サンプルサイズから1引いたもので割ることを勉強しました。 しかし標本分散が母分散より少し小さくなる理由、そして、そのために不偏分散の算出においてn-1でわる理由が分かりませんでした。 わかりやすい形で教えて頂けないでしょうか? どうぞよろしくお願い申し上げます。

  • 検定の質問です

    問題がどうしても解けないのでお願いいたします。 母分散と母平均が両方未知で正規母集団から大きさ51の標本を無作為抽出し、不偏分散Vを計算しました。 帰無仮説:母分散がvを有意水準0.05%で検定するときの棄却域をどうか教えてください。 カイ2条分布を用いて解けるとは思うのですが、どのように区間推定したら良いのかわからないのでよろしくお願いいたします。