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「標本平均の分散」についての質問です.

「標本平均の分散」についての質問です. 「母集団からn個のデータを無作為抽出する.すると,サンプルサイズnの標本ができ,標本平均が計算できる.これを,標本平均1としよう.この作業を何度も繰り返し,標本平均2,標本平均3・・・と,多数の標本平均を集める.これらの標本平均の分散は,母分散のn分の1(母分散/n)である」という説明をある本で読みました. では,極端な話,1000個のデータからなる母集団(有限母集団)から,サンプルサイズ1000個(母集団サイズと同じ)の標本をいくつも作ったとします.標本平均は,いつも母平均そのものであり,よって,標本平均の分散は0です.母分散/1000とはなりません. 上記の説明が間違っているのでしょうか?私が何か勘違いをしているのでしょうか?それとも,説明は無限母集団を対象としている,とか,母集団サイズとサンプルサイズが一致するような抽出は想定されていない,と言った理由があるのでしょうか?

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質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

その通りで、無限母集団のときにしか成立しません。ただし有限母集団でも復元抽出(取り出したデータを元に戻して再び取り出す場合)は無限母集団と同様のことが成立します。 ちなみに有限母集団のときは、有限母集団修正といって、母集団のサイズをNとおいて、サンプルひとつのときの分散に(N-n)/(N-1)を乗じることによって標本平均の分散が得られます。特に標本サイズnが母集団のサイズNに等しいときは有限母集団修正は0になって、標本平均の分散は確かに0になります。他方、標本サイズが1のとき、要するにランダムに一つ選ぶときは、(N-1)/(N-1)=1となり、標本平均(といっても一つだけなのでサンプルの値)は母分散に一致します。標本のサイズが大きくなればなるほど、線形に分散が小さくなっていくわけですね。このことは直感的にも納得がいくことでしょう。 有限母集団修正(N-n)/(N-1)が出てくることは、実際に分散を計算してみれば代数的に証明することができますが、慣れてないと少しだけ面倒な作業だったりします。超幾何分布の平均、分散の計算が出来れば、これも可能でしょう。

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質問者からのお礼

御教授いただき,たいへんありがとうございます.しっかり勉強します.

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  • 回答No.1
noname#185706
noname#185706

>母集団サイズとサンプルサイズが一致するような抽出 は「無作為抽出」といえないように思うのですが、どうでしょう。

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質問者からのお礼

たいへんありがとうございました. 興味深い問いなので,改めて質問を立てました. http://okwave.jp/qa/q6235230.html よろしければ,御覧下さい.

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