不偏分散、ガンマ分布、そして不偏推定量

質問

X1..Xnは独立で標準分布、期待値μ、分散σ^2。不偏分散s^2=1/(n-1) Σ（Xi - X')^2, X'=1/n ΣXi, で iは１からnまでです。X'はガンマ分布Γ（α、λ）に従い、α＝(n-1)/2, λ＝（n-1)/(2*σ~2）です。

(a) ガンマ分布を利用して、s^2がσ^2の不偏推定量であることと、その分散を求めよ。

(b) T(k)=k*s^2、kは定数　を考えます。その際に、T(k)の偏り　と　分散をσ^2の推定量で表せ。そして、T(k)の　誤差の平方は（MSE)を最小値にするkを求めよ。

と言う問題があります。

最初にs^2=1/(n-1) Σ（Xi^2 - n X'^2)と表し、E(X')=σ^2と言う準備はできたのですが、それ以降さっぱりここ３,４日間考えてますがわかりません。回答は自分で導きたいと思ってますので、アドバイスをいただけないでしょうか？

回答No.5

springlover

間違ってたらすみません。一応他のアドバイスも待ってみてください。(b)に関しては、b(T, θ)=E(T)-θとした場合、T(k)=k*s^2なので、E(T(k))=k*σ^2、θ=σ^2。よって、b(T(k), θ)=k*σ^2-σ^2. Var(T(k))=(2*σ^4)/(n-1)。　このことから、MSE(平均二乗誤差）=E[(t-θ)^2]=Var[t]+(b(T,θ))^2を用いて、MSE=σ^4*[k^2-2K+1+2/(n-1)]と導けます。よって、MSEを最初にするkの値は、k=1の時で、その値は、（2*σ^4)/(n-1)となります。　これでどうでしょうか？私は、統計学に関してはそこまでできないので、より知識のある方のアドバイスに頼ってみてください。

回答No.4

torukorice

ｂ　？？よくわからないけど、一応できる範囲は、偏りをb(T, θ)=E(T)-θ　というふうに推定量θで定め、後分散を求めることができれば、残りは簡単だと思いますけど。だって、MSE(平均二乗誤差）=E[(t-θ)^2]=Var[t]+(b(T,θ))^2を使って、その最小値となるKをもとめるだけなので。しかし！！　その肝心なb(T,θ)と、分散をどうやって求めるのだろうか？？興味のある問題ですね。

お礼

No3,4さん有難うございます。不偏性b(T, θ)=E(T)-θの求めかたと、分散の解き方が解れば全てうまくいくような感じがします。私なりにも考えてるのですが、うまくいかないです。

回答No.3

makemasen

NO2であってますよ。ガンマ分布を利用すると、ガンマ分布Γ（α、λ）に従い、α＝(n-1)/2, λ＝（n-1)/(2*σ~2）から、E(s^2)=α/λだから、E(s^2)=σ^2。これと、NO2さんがもとめたものを照らし合わせることで、不偏推定量であることがわかるので、ガンマ分布を使ったことになります。分散は、Var(s^2)=α/(λ^2)を使うともとめれますねぇ。
(b)は難しいですねぇ。解ける人いるのでしょうか？いるでしょうけど、私はお手上げです。

回答No.2

michealjagger

E(s^2)=σ^2 は、
E(x^2)=1/(n-1) * (Σ E [Xi-μ]^2 - n*E[X'-μ]^2)を導き出して、E [Xi-μ]^2 = σ^2 と、E[X'-μ]^2　= σ^2/nをもちいて、回答にたどり着くと思います。それ以外のは解りません。

お礼

ありがとうございます。michealjaggerさんの方法では私も解けたのですが、ガンマ分布を利用してこれを示さないといけないので・・・すみません

回答No.1

michealjagger

最初の、λ＝（ｎ－１）/(2*σ~2)は、σ^2でしょうか？

お礼

すみません。σ^2です。

補足

X'= 1/n * Σ Xi で、　s^2が上に述べたガンマ分布に従うの間違いです。