だ円の接線がｘ軸とｙ軸にはさまれて出来る線分の長さ。。

質問

楕円ｘ＾２/a＾２　＋　ｙ＾２/b＾２＝１（a>b>0)の接線がｘ軸とｙ軸にはさまれて出来る線分の長さの最小値を求めよ。

この問題わかりません＞＿＜

楕円をノートに書いて、その時に接線を引きました。
コレをｙ＝－ｍｘ＋ｎとするか、もしくはｙ＝ｍｘ＋ｎどちらかとまずして考えましたけど。。

ｘ軸とｙ軸にはさまれているという意味は
例えば、楕円があって、ｙ＝ｍｘ＋ｎの直線が接していて、この接線がｙ軸からｘ軸までの直線の長さを今題意で聞かれているのでしょうか？？？良く意味がわかりません＞＿＜

＜解答＞
ｙ＝ｍｘ＋ｎが楕円に接するための条件から
（ｍ＾２ｎ＾２）/ｂ＾４ー（1/a＾２＋ｍ＾２/b＾２）（ｎ＾２/ｂ＾２　－　１　）＝０
∴ｎ＾２＝ａ＾２ｍ＾２＋ｂ＾２
＜質問＞ｙ＝ｍｘ＋ｎが楕円に接するための条件から？って事で、この式を題意の楕円の式のｙにｍｘ＋ｎを代入したらこうなるのですか？？代入したら
(b＾2+a＾2m＾２）x＾２＋(2a＾2mn)x+a＾2n＾2-a＾2b＾2となって、コレを判別式に掛けても上のような分数の長い式にならないのですけど！？

＜解答の続き＞
接線が両軸とＰ、Ｑで交わるためには　ｍ≠０、この時
Ｐ（－n/m,０）Ｑ（０，ｎ）

∴ＰＱ＾２＝ｎ＾２/m＾２　＋ｎ＾２＝a＾２＋b＾２/ｍ＾２　＋a＾２ｍ＾２　＋ｂ＾２≧（a+b)＾２（一定）　等号はa＾２m＾２＝ｂ＾２/ｍ＾２　つまり
ｍ＝±√b/aのときで、
ＰＱの最小値はa+b

＜質問＞　ここでいうＰＱってｙ＝ｍｘ＋ｎがｙ軸を通過する時の点ですか？同じくｘ軸にも通過する時の点であってますか？この後のＰＱ＾２＝の式はどのように考えたらこの式が出来るのですか？？三平方の定理とか、直線の公式とかでしょうか？？？

どなたか教えてください、お願いします！

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞ｘ軸とｙ軸にはさまれているという意味は
両軸に平行でない接線である限り
x軸やy軸と交わりますね。
x軸との交点をP、y軸との交点をQとすれば
線分PQが該当する直線の部分ですね。
この線分PQの最小値を問題にしているわけです。

＞＜質問＞ｙ＝ｍｘ＋ｎが楕円に接するための条件から？
＞(b＾2+a＾2m＾２）x＾２＋(2a＾2mn)x+a＾2n＾2-a＾2b＾2
＝０であっています。
私がやってみたところ質問者さんと同じ式が出てきました。
（単に式の整理の仕方が異なるだけかと思いますので気にする必要はないです。）
質問者さんの式の場合判別式D=0の接する条件は
D=a^2*b^4 + a^4*b^2*m^2 - a^2*b^2*n^2　
=a^2*b^2{b^2+a^2m^2-n^2}=0
となります。
これから、解答と同じ式が出て来ます。

＞＜質問＞　ここでいうＰ、Ｑってｙ＝ｍｘ＋ｎがｙ軸を通過する時の点ですか？同じくｘ軸にも通過する時の点であってますか？

あっています。
Q点はｙ＝ｍｘ＋ｎのｙ切片ですね。
y切片の座標はQ(0,n)ですね。
P点はｙ＝ｍｘ＋ｎはx切片です。
ｙ＝ｍｘ＋ｎ＝0から
x＝-n/mとなりますのでx切片の座標はP(-n/m,0)です。
PQ^2は直角三角形OPQにピタゴラスの３平方の定理を使って

PQ^2＝OP^2+OQ^2

で求まります。
ここで
OP＝|(-n/m)|，OQ＝|n|
ですね。

お分かりになりましたでしょうか？

お礼

いつも本当にありがとうございます=..=
oyaoya65さんのおかげで、数学の世界についてすごく興味が沸き、数学の勉強をしている時間がすごく楽しいです。本当にどうも、ありがとうございました！（＾０＾）！