最大値・最小値

質問

実数x,y,a,bが条件x^2＋y^2＝1とa^2＋b^2＝2を満たすとき、ax＋byの最大値・最小値を求めよ。という問題で原点oを中心とした半径１および√2の円を書いて手が止まりました。
ここからどう発展させたらいいでしょうか。別の方法があればそれも教えていただけると助かります。

回答No.4

take_5

一番簡単なのは、シュワルツの不等式を使えばよい。

a、b、x、yが全て実数から、（x^2＋y^2）*（a^2＋b^2）≧（ax＋by）＾2 が成立する。但し、等号はbx＝ayの時。
x^2＋y^2＝1とa^2＋b^2＝2から、2≧（ax＋by）＾2 が成立する。
よって、ax＋byの最大値は√2、最小値は-√2.

お礼

よくわかりました！
シュワルツを使うのですね…

回答No.3

info22

円：x^2＋y^2＝1の周上の点をP(x1,y1)とし、
円：x^2＋y^2＝2の周上の点をA(a,b)とすると

x1^2＋y1^2＝1
a^2＋b^2＝2

原点O（普通大文字で書く）
a x1+b y1=(OA↑)・(OP↑)=(√2)*1*cosφ=(√2)cosφ …(A)
ただし、φは(OA↑)=(a,b)と(OP↑)=(x1,y1)のなす角とする。

(A)が
最大となるのはφ=0[rad]または0°の時で
最小となるのはφ=π[rad]または180°の時です。

あとは分かりますね。

お礼

ベクトルの内積を絡めるのですか・・
わかりました！！

回答No.2

noname#57316

x=cosθとすると、y=±sinθ
同様に
a=√2・cosφとすると、b=±√2・sinφ
このとき、ax+by は、
ax+by=√2・cosφ・cosθ ± √2・sinφ・sinθ
=√2・cos(φ-θ)、または、√2・cos(φ+θ)

従って、最大値は、√2 であり、最小値は、-√2

お礼

単位円をつかうのですね。
よくわかりました☆

回答No.1

koko_u_

簡単なのは円周上の点なので、(x, y) = (cos θ, sin θ) などと
パラメータ化することでしょう。

あるいは図形的に ax + by はベクトルの内積を表わしていることを
利用するとか。

お礼

２通りも解放を示していただいてありがとうございます！
早速やってみます。