計算式の誤差（楕円マクロ）

質問

最近楕円のマクロ（ファナック）を作成してみました。内容は楕円公式にのっとって作ったもので、a>b>0、ピッチをx=0.1としa=20b=15の楕円で中心x0y0からy頂点（b)までG01で進み設定した角度ｊ(x-z平面角度）の角度でx頂点（a)まで進み、yマイナス頂点→ｘマイナス頂点→y頂点といった具合に楕円上に一周まわるといった内容です。何とか動作できたのですが次にこれを
工具半径=Dを考慮したマクロを作成しようとしているのですがこの場合
工具中心をX,Y楕円と工具の交点Xp,Ypとの角度を微分して求め任意の点で角度を求めるマクロを作りたいと思ったのですが、この場合工具半径D=1としたらa=20b=15の場合実際の工具中心はa=19b=14の楕円を描いていくということですよね？なので、微分して求めた傾きを工具半径D=1にSIN,COSで補正量を計算し求めた値Xを楕円公式にあてはめYの値を計算したところ0.02ほどの誤差（a=19,b=14の楕円と比較して）が生じました！このくらいの誤差はでるものなのでしょうか？それとも僕の計算間違いでしょうか？どなたか教えていただければ幸いです。

回答No.9

noname#230359

回答（５）（７）を撤回します。
a=19、b=14の楕円が証明の基準となったので 明らかに不合理です。
a=20、b=15とでは焦点、離心率も変化しますしね。
当然オーバーカットも起こるでしょう。
質問者の垂線方向の移動による加工ポイントの変化をジックリ検証してマクロを考えてみます。

お礼

やはりそうですよね！僕も色々悩みましたが正解はそうだと思います。
検証したあかつきにはまたご指導よろしくお願いします。

回答No.8

noname#230359

百聞は一見にしかず、CADで確認してみましょう。

http://mcnc.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20090509194210.jpg

1)a=20・b=15の楕円を描きます。(白)
2)a=19・b=14の楕円を描きます。(シアン)
3)a=19・b=14の楕円上を中心とするR1の円をいくつか描きます。(黄)
4)R1を拡大してみると、

http://mcnc.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/img-box/img20090509194248.jpg

0・90・180・270°以外でオーバーカットとなることが分かります。

お礼

回答ありがとうございます。残念ながら添付されたURLへ飛ぶことができませんでした。CADを使える環境にないので確認できませんがMCの描画で確認できるか試してみようと思います。

回答No.7

noname#230359

質問者は『設定した楕円形状を加工する』ことを目的としています。
つまり、a=20、b=15の楕円です。
工具径が絡んだ場合 どのようにしたら内周なり外周なりが　a=20、b=15の楕円で加工できるかを問題としている訳です。
工具半径を 1mmとすれば、工具中心は 当然 a=19、b=14の楕円軌跡しか無いですね。
そしてこれが求める a=20、b=15の加工楕円形状なんです。
MCでは加工精度上、微細寸法で補正を掛けたくなるので工具径を加味したプログラミングが必要とされます。

回答No.6

noname#230359

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(1)質問者さんが微分してうんぬんと言われている、
　　a=20・b=15の楕円を内側に1mmオフセットした図形。(楕円ではありません)

(2)a=19・b=14の楕円。
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この二つは同じではありません。
マクロとCADで確認してみると、(1)と(2)では0.01mm強の誤差がありました。

φ2(R1)のツールパスとしては、
----------
(1)質問者さんが微分してうんぬんと言われている、
　　a=20・b=15の楕円を内側に1mmオフセットした図形。

そのとおりです。
質問者さんの元々の考えで合っています。

お礼

回答ありがとうございます！やはりそうですよね？
どれが一番正解なのか改めて考えなおしましたが、
インターネットで検索していると下記のサイトを見つけたました。

http://www.tech.sci.nagoya-u.ac.jp/databook/w1999/w5w.html

サイトの内容ではやはりボールエンドミルの中心を、微分して接線、法線の角度を割り出して求めるという方法です。信憑性の高いものだと思いますが・・。mckazkazさんが
＜楕円上のポイントと楕円中心を結んだ線上に工具中心がなければなりません。
とお答え下さった内容は上記のサイトの内容を見るとどちらが正解なのか混乱してきました。
僕の元々の考えでは接線の傾きに直角な線＝法線、その法線上にあるのが工具中心であって、楕円の中心からの工具と楕円の接点がなす角度と接線の傾きは直角でないからこそ、微分によって接線の傾き、法線の傾きを求める必要があり、それによって工具中心を割り出すことができると思っていたのですが・・・。だとすると、とくほんさんが言われているようにD=1でa=20,b=15の楕円を描いたときの工具経路はa=19,b=14の楕円と等しくないという事になり、微分して角度を求めた法線の線上にある工具経路をたどることがd=1のときにa=20b=15の楕円を幾何的に一致させることができるという事になりますよね。

回答No.5

noname#230359

工具半径D=1で誤差0.02では、D=5ならば単純に考えて誤差0.1ですから何か変ですね。
私は考え違いだと思います。
質問にある交点は接点ですね。
接点で微分により接線の角度をだし、法線の角度を求めて工具の中心を求めるという考えだと思いますが。

楕円上のポイントは あくまで
x=a*cos(t)
y=b*sin(t)
0<=t<360
です。
つまり、楕円上のポイントと楕円中心を結んだ線上に工具中心がなければなりません。
この条件を満足する法線は 0、90、180、270度の時だけです。
よって法線の角度は使えません。

マクロを考えた場合
角度ｔを変化させ、上記した式よりx、yを求めます。
xを変化させた時は指令された楕円方程式より yを計算し角度ｔを求めます。
答えは工具半径Dを加味して
x=x+D*cos(t+180)
y=y+D*sin(t+180)
となります（外側を考えた時は Dは -D）。
WHILE[ ]DO1 ・・・・・・・END1　ルーチンで回せばOKです。

楕円形状の変化に関しては、離心率の問題ですのでネットでチェックして下さい。

お礼

回答ありがとうございました。ご指導いただいたやり方で確認したところ、誤差なく正常に動作しました！まだまだ楕円についての知識や計算式を理解できてないようです。これからいろいろなマクロにトライしてみようとおもうのでその際はご指導お願いします！

回答No.4

noname#230359

あなたが言っておられる、どこかのサイトで見た微分して求める方法が、包絡線を作るやり方であるならば、あなたのやっている方法が正確であるといえると思います。

少なくとも、a=20b=15の楕円を工具半径D=1で削ろうとする時に、a=19b=14の楕円で工具を動かすと当然誤差が生じます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E7%B5%A1%E9%9D%A2

お礼

回答ありがとうございます！包絡線wikiにて確認しました。もう少し勉強してみようと思います！

回答No.3

noname#230359

a=20 b=15の楕円からD=1小さい形状が
a=19 b=14の楕円ではないと、皆さん回答しているのだと思います。
類似しているかもしれませんが、計算値としては間違っています。
X軸、Y軸での数値は一致していますが。

どこかのサイトで見たのであれば、それは簡易的に描くための
方法なのでしょう。

回答No.2

noname#230359

＞工具半径D=1としたらa=20b=15の場合実際の工具中心はa=19b=14の楕円を描いていく

ＭＣの実際の動作はわかりませんが、作図的には違います。
工具の軌跡は、必要な形状等距離オフセット図形になるはずです。
楕円のオフセット図形は楕円ではありません。
少し細眺めの楕円を描いてみて、適当な間隔で楕円の線上に円を描いてみるとわかります。
外側の円をつないだ線は一見楕円に見えますが、内側を見ると楕円でないことがわかりやすいです。
楕円に対して円を大きくしていくと、レンズ状に長径側がとがってきます。

ＣＡＤに作図機能があると簡単に確認できます。

＞言っていることはなんとなくわかりますが、

作図してみましたか？
なんとなくではなく、作図して理解しましょう。
長径５０、短径２５の楕円状の軌跡でを５ミリのエンドミルを走らせると、
一見内外形とも楕円に見えますが、このエンドミルを１０ミリに変えると
内側の形状が破綻しているのが容易にわかります（カムや歯車の加工の
問題と同じです）。

＞工具半径D=1としたらa=20b=15の場合実際の工具中心はa=19b=14の楕円を描いていく

これは、楕円形状を削り出すためには、工具の軌跡も楕円になると読みました。
ところが、円形の刃物で加工するのであれば、楕円の軌跡を描く工具の軌跡では
楕円形状のものは削り出せません・・・ということを述べました。
楕円状の刃物の包絡線と、実際の楕円とを比較すれば違いがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。言っていることはなんとなくわかりますが、
微分して求めた角度から工具中心を求めた値と回答（１）でranzoさんが答えてくださった値ではどちらが正解なのか、それともどちらとも正解なのでしょうか？どちらとも正解ならばピッチが同じであれば精度は同じになると思うのですがどうでしょう？

回答No.1

noname#230359

場合によっては、そのくらいの、誤差が発生する可能性はあります

できるだけ計算式は単純化したほうが、誤差の蓄積が少なくなります
補正量を別に計算しないで
直接的にX=COSΘ＊19,Y=SINΘ＊14としたほうが
いいのでは？

お礼

回答ありがとうございます！確認しましたが確かにそのほうが正確ですね！
でもその方法を使用するならはじめからa=20b=15の値から工具半径を引いた値で計算させた方が早いんですかね？皆さんが3次元や2.5次元で加工する時はどのようにしているんですかね。ボールエンドミルによる切削の場合微分して工具中心を求めると、あるサイトに記載してあるのを見たことあります。