２直線の交点の軌跡

質問

２直線の交点の軌跡

ｍが実数全体を動くとき、次の２直線の交点Ｐはどんな図形を描くか。
mx-y=0・・・(1)、x+my-m-2=0・・・(2)

指針、(1)、(2)を連立して解くと x=m+2/m^2+1,y=m(m+2)/m^2+1
この２式からｍを消去してｘ、ｙの関係式を求めようとするのは計算が大変。
そこで、交点Ｐの座標を(x,y)とすると(x,y)は(1)、(2)を同時に満たすから、(1)、(2)はｍをつなぎ文字とみた軌跡の条件式である
よって、(1)、(2)から直接ｍを消去する。なお、(1)、(2)が表さない、直線があるから、求めた図形から、除外する点がでてくることに
注意する。

教えてほしいところ
解答では、(1)の式を変形して(2)に代入していたんですが、(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね（必要十分でない）？？
ですから、代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは？？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＞(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね（必要十分でない）？？

交点ではこれが一致するのです。

＞この２式からｍを消去してｘ、ｙの関係式を求めようとするのは計算が大変。

全然そんなことはありません。

y/x=m
x=m+2/m^2+1　に代入してせりすると
(x-1)^2+(y-1/2)^2=（√5/2)^2

>求めた図形から、除外する点がでてくることに注意する。

その通り。

ともあれパラメータ（この場合、m)は消去せよ。これが原則ですが、いろいろ確かめてみてください。

回答No.4

alice_44

＞ それを勝手に除外して、

勝手に交点のことを考えることにした
のだから、それは仕方ありません。

(1)を満たし (2)は満たさないような (x,y) は
直線(1)上で交点以外の点、
(1)(2)両方を満たす (x,y) は二直線の交点だというだけです。

(1)上の点のうち交点以外の点を除外して
勝手に交点を P とした理由を
思い出してみましよょう。

回答No.3

Quattro99

では、交点Pの座標を(p,q)とでも置いてください。そして、p、qの関係式を導きます。
その関係式のp、qをx、yに置き換えた方程式上の点は(1)、(2)を満たしますから、これが求める軌跡の方程式です（除外する点に関する注意点は解説にあるとおり）。
解答では二度手間なことをせずに最初から(x,y)と置いているだけです。

> 代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは？？
代入することで、“両方を満たす”x、yの関係式になるのです。要するに連立方程式です。連立方程式ですが文字が3つで式が2つですから解が有限個に定まらず、ある関係を持つx、yならよいという関係式が出てくるのです。

回答No.1

alice_44

代入したのは、x,y をゴチャゴチャにしたのではなく、
P は (1)(2) の交点なのだから、P の座標を (x,y) と置くと、
(1)(2) が両方成り立つ　ということです。
このとき、十分性を損なわないようにするには、
m を消去する際に、対応する m が在るための (x,y) の条件
を考えておく必要があるだけです。

補足

P は (1)(2) の交点なのだから、P の座標を (x,y) と置くと、
(1)(2) が両方成り立つ　ということです。確かに、（ｘ、ｙ）とおけば両方成り立ちます。
ですが、(1)、(2)の（ｘ、ｙ）は交点以外の（ｘ、ｙ）も表しますよね？
それを勝ってに除外して（交点以外の(1)、(2)が表していた（ｘ、ｙ）除外するということ）ｍを消去して考えることができる理由を知りたいです。