数(2)の軌跡の問題

質問

この問題の解き方を教えてください。
「放物線y=ax2(2乗)(ａ≠0)上を点P、Qが∠POQ＝90°を満たしながら動く時、線分PQの中点Rはどのような曲線をえがくか。ただし、Oは原点とする。」

回答No.2

Mell-Lily · ベストアンサー

点P,Qの座標を
　P(x,y)
　Q(x',y')
とおく。
△OPQにおいて
　OP^2＋OQ^2=PQ^2
が成り立つ。よって、
　x^2+y^2+x'^2+y'^2=(x-x')^2+(y-y')^2
　∴xx'+yy'=0　…　(1)
を得る。ところで、P,Qはy=ax^2上の点であるから、
　y=ax^2
　y'=ax'^2
である。これらを(1)に代入すれば、
　xx'+a^2x^2x'^2=0
を得るが、xx'≠0だから、
　xx'=-1/a^2　…　(2)
を得る。点Rのx,y座標をX,Yとすれば、
　X=(x+x')/2
　Y=(y+y')/2
　=a(x^2+x'^2)/2
である。ここで、
　X^2=(x+x')^2/4=(x^2+x'^2+2xx')/4
であるが、これに(2)を代入すれば、
　X^2=(x^2+x'^2)/4-1/2a^2
　=Y/2a-1/2a^2
である。以上から、点Rが描く曲線は、
　y=2ax^2-1/a
である。

お礼

「三平方の定理」を使うとは思いつきませんでした。こういう解き方もあるのですね。勉強になりました。
回答ありがとうございました。

回答No.4

Mell-Lily

ANo.#2で、最後に-1/a^2を移項するとき、マイナスをプラスに替えることを忘れてしまいました。従って、答えは、
　y=2ax^2+1/a
になります。
ANo.#3のgood777さんの答えと違っていますが、これは、good777さんが、解答の二行目で、
　pq=-1
としているからです。ここは、
　ap^2/p*aq^2/q=-1
　∴pq=-1/a^2
とするべきです。

お礼

２度も回答ありがとうございました。
よくわかりました。どうにかこの問題を解くことができました。
本当にありがとうございました。

回答No.3

good777

【問題】放物線y=ax＾2　(ａ≠0)上を点P、Qが∠POQ＝90°を満たしながら動く時、
線分PQの中点Rはどのような曲線をえがくか。ただし、Oは原点とする。

【解】
P、Qの座標を
（ｐ、aｐ＾2）、（ｑ、aｑ＾2）とおくと、∠POQ＝90°だから、ｐｑ＝-1である。
R(x,y)は　
ｘ＝（ｐ+ｑ）/2
ｙ＝（aｐ＾2+aｑ＾2）/2

つまり、
2ｘ＝ｐ+ｑ
2ｙ＝aｐ＾2+aｑ＾2
である。

（2ｘ）＾2＝ｐ＾2+2ｐｑ+ｑ＾2＝-2　+ｐ＾2　+ｑ＾2

となるので、
2ｙ＝a((2ｘ)＾2+2)
ｙ＝2ax^2 +a
　　　　　　　　【答え】ｙ＝2ax^2 +a

お礼

動点の軌跡の問題は文字を消去するようにすれば解けるのですね。よくわかりました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

軌跡の問題は、その点（Ｘ，Ｙ）を任意定数（媒介変数の方が的確の表現だが、媒介変数∈任意定数である）ｔで表し、ｔを消去すれば良い。
もうひとつの解法は、ｔで表すところまでは、上記までと同じだが、ｔの存在条件から、Ｘ，Ｙの取りうる値の範囲を求めるという方法。ｔの消去が難しい場合に有効であることが多い。逆にいえば、これが出来ないときはｔを消去できるということである。

この問題は、中点、９０°という式が立てやすい条件がそろっているので。特に頭を使わなくても出来るだろう。出来なくても誰かが解くだろう。

お礼

文字消去のやり方で解けるんですね。よくわかりました。あとは、こんな問題を何回も解けば覚えると思います。
回答ありがとうございました。