2000年の 名古屋市大の数学の問題なのですが、解けません。誰か教えて

質問

2000年の 名古屋市大の数学の問題なのですが、解けません。誰か教えてください(>人<)

２つの放物線y=(x+2)の2乗\\\(1)とy=-xの2乗+1\\\(2)があり、放物線(1)上の点Pにおける接線が放物線(2)と異なる2点Q、Rで交わるとする。点Pがこの条件を満たしながら放物線(1)上を動くとき、線分QRの中点Sの軌跡を求め、それを図示せよ。
です。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

軌跡の基本的問題。

Ｐ(m、m＾2＋4m＋4)とすると、y´＝2x＋4から、点Ｐにおける接線は　y＝(2m+4)*(x-m)＋m＾2＋4m＋4＝(2m+4)*x＋4-m＾2
これが、y＝1-x＾2と異なる2点で交わるから、1-x＾2＝(2m+4)*x＋4-m＾2　つまり、x＾2+2(m+2)x＋(3-m)　‥‥(1)　の判別式＞0　→　2m＾2＋4m＋1＞0　‥‥(2)
(1)の2解がＱとＲのx座標を与えるから、それをαとβとして、Ｐ(x、y)とすると、解と係数から、2x＝α＋β＝-2(m+2) →　m＝-(x＋2)　‥‥(3)
2y＝(1-α＾2)＋(1-β＾2)＝2-(α＾2＋β＾2)＝2-{{α＋β}＾2－2αβ}＝-6m＾2-16m-8　であるから、y＝-3m＾2-8m-8　‥‥(4)
(3)を(2)と(4)に代入すると、軌跡の方程式と限界が自動的に出てくる。

図示は自分でやって。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

点Pの座標を（ｐ、（ｐ＋２）＾２）とすると、Pにおける接線の傾きは２ｐ＋４になります。従って点Ｐにおける（１）の接線の式は
・傾きが２ｐ＋４
・（ｐ、（ｐ＋２）＾２）を通る
ことから求めることができます。この式を仮にｙ＝ｆ（ｘ）としておきます。
　次にｙ＝ｆ（ｘ）と（２）の交点です。これはｆ（ｘ）＝－ｘ＾２＋１とおいて二次方程式を解けばいい（その解がＱとＲの座標です）のですが、異なる二点で交わるのだから、この二次方程式は異なる二つの実数解を持たねばなりません。判別式＞０とおき、この不等式を解くと条件を満たすｐの範囲が求められます。

お礼

大変参考になりました。ありがとうございますo(^-^)o