• 締切済み
  • すぐに回答を!

【放物線の問題】

放物線y=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線の交点をBとする。 ただし、点Aにおける法線とは、点Aを通りAにおける接線と直交する直線である。 (1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。 (2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は? 解ける方いらっしゃいましたら、 お願いしますm(_)m

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.5
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

#1です。 #2さん、指摘有難う。指摘通りミスでした。 A#1にミスが有りましたので訂正します。 >(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a) >A、Bは異なる点とすればa≠bなので >(b-a)で割って > a+b=1/(2a) ...(A) 以降(A)式の符号ミスで以降に影響がでますので、以下で差し替えをお願いします。   a+b=-1/(2a) ...(A)   b=-1/(2a)-a   ab=-1/2-a^2 ...(B) (1) A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より  X=(a+b)/2=-1/(4a) ...(C)  Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2   =(1/(4a^2)+(1+2a^2))/2=1/(8a^2)+(1/2)+a^2 ...(D) (C)より  a=-1/(4X) (D)に代入してaを消去  Y=2X^2 +(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え (2) 相加平均・相乗平均の関係より  Y=2X^2 +(1/16)/X^2 +(1/2)  ≧2√(2/16) +1/2=(√2+1)/2 (Yの最小値) 最小値をとる時は  2X^2=(1/16)/X^2  X^4=1/32  X=±1/2^(5/4) …(※) (C)より  a=-1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4)) …(※)  a=-(±1)/2^(3/4) …(※) ここで(※)は複号同順です。 失礼しました。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。 A=A(p,p^2)とする。 Aを通る法線をy=ax+bとすると、y'=2xよりa=-1/(2p)、 p^2=-1/(2p)*p+bよりb=p^2+1/2。よって法線はy=-1/(2p)x+p^2+1/2 Bのx座標は、x^2=-1/(2p)x+p^2+1/2よりx^2+1/(2p)x-p^2-1/2 =(x-p){x+p+1/(2p)}=0、x=-p-1/(2p) 線分ABの中点P(X,Y)よりX=(1/2)[p+{-p-1/(2p)}]=-1/(4p) 法線の式に代入してY=-1/(2p){-1/(4p)}+p^2+1/2 =1/(8p^2)+p^2+1/2、p=-1/(4X)を代入して Y=1/[8{1/(16X^2}]+1/(16X^2)+1/2=2X^2+1/(16X^2)+1/2・・・答 (2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は? Aが(0,0)ではBは存在しないので、p≠0 Y=1/(8p^2)+p^2+1/2より dY/dp=-1/(4p^3)+2p=0とおくと8p^4=1、p^2=√(1/8) d(dY/dp)/dp=3/(4P^4)+2>0よりY(p)は下に凸でありp^2=1/√8 で最小となるので、Y=1/(8p^2)+p^2+1/2に代入して、 Y=(1/8)(√8)+1/√8+1/2=(1+√2)/2・・・答え

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3

点A(α、α^2) α≠0 とする。 点Aにおける接線の傾きは 2α。従って その法線の傾きは -1/(2α)だから 法線の方程式は y=(-1/2α)*(x-α)+α^2.これがy=x^2と交わるから x≠αから x=-(2α^2+1)/(2α)。 その時の y座標はy=x^2=(2α^2+1)^2/(2α)^2。 よって、2Y=α^2+(2α^2+1)^2/(2α)^2=(8α^4+4α^2+1)/(4α^2) → 8Y=2α^2+1+1/α^2. α^2>0から 相加平均・相乗平均より 8Y=2α^2+1+1/α^2≧2√2+1. つまり、最小値は (2√2+1)/8 等号は、2α^2=1/α^2の時 つまり α=±1/(4)√2 の時。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

#1さんへ a+b=1/(2a) ...(A) は a+b=-1/(2a) ...(A) ではありませんか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

A(a,a^2),B(b,b^2)とすると y'=2xより 法線の方程式は y=-(x-a)/(2a) +a^2 y=-x/(2a)+a^2+(1/2) B(b,b^2)を通るから b^2=-(b-a)/(2a) +a^2 変形すると (b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a) A、Bは異なる点とすればa≠bなので (b-a)で割って  a+b=1/(2a) ...(A)  b=1/(2a)-a  ab=1/2-a^2 ...(B) (1) A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より  X=(a+b)/2=1/(4a) ...(C)  Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2 =(1/(4a^2)-(1-2a^2))/2=1/(8a^2)-(1/2)+a^2 ...(D) (C)より  a=1/(4X) (D)に代入してaを消去  Y=2X^2 -(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え (2) 相加平均・相乗平均の関係より  Y=2X^2 +(1/16)/X^2 -(1/2) ≧2√(2/16) -1/2=(√2-1)/2 (Yの最小値) 最小値をとる時は  2X^2=(1/16)/X^2  X^4=1/32  X=±1/2^(5/4) (C)より  a=1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4))=-(±1)/2^(3/4)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 軌跡の問題について

    軌跡の問題で困っているものがあります。 放物線y=x^2/4上の点Q、Rは、それぞれその点におけるこの放物線の接線が直交するように動くものとする。 この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとしたとき、次の問いに答えよ。 (1)点pの軌跡の方程式 (2)点Mの軌跡の方程式 点QとRをそれぞれ(a,a^2/4)と(b,b^2/4)として接線をだして求めて行くようですが、良く分かりません。 答えは(1)y=-1 (2)y=x^2/2+1です。 解法が分かる方、解説お願いします。

  • 放物線と直線の問題です。

    放物線と直線の問題です。 放物線 y=4x^2 ・・・(1) 上に点A(1/2,1) 放物線 y=1/2x^2 ・・・(2) 上に点B(2,2)がある。 直線ABの式 y=2/3x+2/3 ・・・(3) 三角形AOBの面積=三角形TOB-三角形TOA (原点O、直線ABとy軸の交点Tとして)で求めると3/6になりました。 つぎに点Pは(2)上の点で、原点Oと点Bとの間にあるものとする。三角形APBの面積が1/4のとき点Pのx座標を求めろという問題でした。

  • 数学の問題の解説お願いします。

    シニア数学演習 185 放物線y=x^2/4上の点Q,Rは、それぞれの点におけるこの放物線の 接線が直交するように動くものとする。 この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとするとき、次の問いに答えよ。 (1)点Pの軌跡を表す方程式を求めよ。 (2)点Mの軌跡を表す方程式を求めよ。 解答 (1)y=-1 (2)y=x^2/2+1 解法を詳しく教えてください。 よろしくおねがいします。

  • 二次関数

    2点 A、Bは放物線y=x^2(これはxの二乗という意味です。みなさんのマネをしました)とy=2x+15の後点であえる。次の問いに答えなさい。 線分ABの中点をMとし、Mを通りy軸に平行な直線と放物線との交点をNとするとき、線分MNの長さを求めなさい。 MはAとBの真ん中だから A(-3、9) B(5、25) これより M(4、23)、Nは(4、16) よって、23-16=7 この考えは間違えですか? 線分ABの中点Mの求め方を教えてください。

  • 放物線と方程式

    分からない問題があるので教えてください。一応少しは解けましたが、難しすぎて歯が立ちません。どうか、よろしくお願いします。すべて教えていただけなくても、結構です。 y=x^2によって定められたxy平面状の放物線をCとする。C上にない点PとC上にある2点Q,Rについて、次の条件を満たしている。∠RPQ=90°, 線分PQは点QでCの接線と直交している, 線分PRは点RでCの接線と直交している。次の問いに答えよ。 (1)点Qのx座標をa,点Qにおける接線の方程式の傾きをmとしたとき、この接線の方程式をa,mを用いて表せ。 (2)mをaの式で表せ。 (3)点Rのx座標をbとする。このとき次の座標をa,bをを用いて表せ。 1,2点Q,Rの中点Mの座標  2,2点Q,RにおけるCの接線のの交点Sの座標 (4)点Pの座標をa,bを用いて表せ。 (5)点Q,RがC上を動くとき、点Pの奇跡の方程式を求めよ。 (6)a>0とする。△QSMの面積をS(a)と置き、これを求めよ。 (7)点QがC上を動くとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。 解答できたのは、(1)だけです。(3)-1もできましたが、(2)が解けないため、(3)-2はできませんでした。

  • 軌跡

           放物線y=x2/4(四分のエックス二乗)上の点Q、Rは それぞれの点におけるこの放物線の接線が 直交するように動くものとする。 この二本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとする時、 次の問いに答えよ。 1)点Pの軌跡を表す方程式を求めよ。 2)点Mの軌跡を表す方程式を求めよ。 誰か解き方教えてくださいm(-_-)m

  • 数学の問題がわかりません。

    数学の問題がわかりません。 aを正の定数とする。2つの放物線C1:y=x^2 と C2:y=(x-2)^2+4a の交点をPとする。 (1)放物線C1上の点Q(t,t^2)における接線の方程式を求めよ。更に、その接線のうちC2に接するものをLとする。Lの方程式を求めよ。 (2)点Pを通りy軸に平行な直線をmとする。Lとmの交点をRとするとき、線分PRの長さを求めよ。 (3)直線L,mと放物線C1 で囲まれた図形の面積を求めよ。 わかりません。。 お願いします!!

  • 数学の問題の解答を教えてください。

    放物線 y=x²上の2つの点A(α,α²)、B(-α,α²) における接線の方程式をそれぞれl,mとする。ただし、α>0とする。   (1)点Aにおける接線lの方程式を求めよ。   (2)2つの接線l、mの交点Pの座標を求めよ。   (3)α=1のとき、放物線と直線ABで囲まれる部分の面積Sを求めよ。   (4)放物線と2つの接線で囲まれる部分の面積が18となるときのαの値を求めよ。

  • 放物線。

    放物線C:y=1/2x^2上の原点以外の点をP、PにおけるCの接線をlとし、Pを通りlに垂直な直線をmとする。 mとCが再び交わる点をQとし、QでのCの接線をnとする。l,nの交点をRとする。 1)点R(x,y)についてyをxの式で表せ。 2)PR≧PQとなる点Pのx座標の値の範囲を求めよ。 図しか書けなくて困ってます。よろしくおねがいします。

  • 円と放物線の共通接線が直交する問題

    原点を中心とする半径rの円と放物線y=1/2 x^2+1との両方に接する直線のうちに互いに直交するものがある。rの値を求めよ。 放物線上の点(s, 1/2 s^2+1)で接する接線を考えて、円上の点(t、±√(r^2-t^2)で接する接線を考えてこれが一致する とやってみたのですが、計算が煩雑な上に「直交」するというのが式にできませんでした。2本以上接線がないと直交できないのでこれも条件にするのではないかと思うのですがなかなか式で表すことができません。 回答いただければありがたいです。よろしくお願いします