円と直線

質問

放物線y=x^2上の異なる点４点A(-3,9),B(2,4),P(p,p^2),Q(q,q^2)が
同一円周上にあるための条件を求めよ。

という問題で、

・線分ABの垂直二等分線の方程式
・線分BPの垂直二等分線の方程式
・３点A、B、Pを通る円の中心Rの座標
・３点A、B、Qを通る円の中心Sの座標　を求め、
４点A、B、P、Qが同一円周上にあるようにするため、
RとSが一致する条件を求めますよね。

そこで、

・線分BPの垂直二等分線の方程式

を求めるとき、なのですが、

BPの傾きを求め、(BPの傾き=p+2)
BPの中点を求めて、(BPの中点座標は(2+p/2,4+p^2/2))
次に、
(１)P≠-2のときと、(２)p=-2
と場合分けしてBPの垂直二等分線を求めますよね。

どうして場合分けが必要なのですか？(２)のときはただx=0となるだけなのに、
場合分けするのにどんな意味があるのか理解できませんでした。

ただ傾きを求めて、中点座標をもとめて、垂直二等分線を求めるだけでは
いけないのはどうしてでしょうか？

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

場合分けする理由はBPの垂直二等分線の方程式が
ｐ≠-2の時、ｙ＝{-1/(p+2)}x＋α
ｐ＝-2の時、ｘ＝０
と、ｐの値で場合分けしなければ表せないためですね。
(あまり深くは考えていないので、間違っていたらすいません)

必要ないかもしれませんが、参考程度に別解を書いておきます。下に書いてあることの意味が分からなければ無視してください。
２点Ａ，Ｂを通る円上に点Ｐ，Ｑがある、として解く方法です。

2点A,Bを通る円Ｃの方程式は実数tを用いて
(x-t)^2+(y-(t+7))^2=2t^2+2t+13・・・☆
と表せる。これとｙ=ｘ^2を連立して出たの異なる4解のうち(x,y)=(2,4),(-3,9)と異なる解が(p,p^2),(q,q^2)と一致すればよい。

ｙ=ｘ^2を☆に代入して整理すると
ｘ^4-(2t+13)x^2-2tx+12t+36=0
⇔(x-2)(x+3)(x^2-x-2t-6)=0
よって、x^2-x-2t-6=0が2、-3以外の異なる２つの実数解を持ち、その2つの解がpとqであればよい。
また、解と係数の関係よりp+q=1、pq=-2t-6
判別式D=1+4(2t+6)>0 ∴t>-25/8
f(x)=x^2-x-2t-6とおいて、f(2)≠0よりt≠-2。f(-3)≠0よりt≠3

以上より、求める条件は
p+q=1
但し、(p,q)≠(1/2,1/2),(-1,2),(2,-1),(-3,4),(4,-3)

途中計算をけっこう省きましたが、こんな感じになると思います。
(計算間違いをしているかもしれませんが、解き方はこんな感じでよいと思います。長くなってすいませんでした。)

お礼

丁寧なご回答をありがとうございます。
別解の考え方の方がわかりやすいですね。
返信が遅くなり、申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

回答No.6

kony0

・線分BPの垂直二等分線の方程式 を求める。

まず、BPの傾きを求める。・・・BPの傾きはp+2

したがって、BPに垂直な線の傾きは「p≠-2のときは」-1/(p+2)

・・・じゃあ、p=-2のときは？！

というと、実は、p=-2のとき、BPはx軸に平行（傾き０）だから、それに垂直な直線は「y軸に平行」・・・つまり直線の式は「x=●」と書ける。

つまり、
p≠-2のときは、垂直二等分線の式はy={-1/(p+2)}x+…、
p=-2のときは、垂直二等分線の式はx=●、
とかける・・・ということです。

p≠-2の場合の、y={-1/(p+2)}x+…だけを垂直二等分線の式とするのは、p=-2の場合をなんの断りも無く考慮から漏らしていることになります。p=-2の場合は、他とは直線の式が異なるので、特別に取り出して考えて、その結果「確かに解じゃない」ことを述べないといけません。

お礼

ご回答をありがとうございます。
返信が遅くなり、申し訳ありません。
もれなく場合分けをしなくてはいけないのですね。
この場合分けが思いつかなくて、日々苦戦してますが、
これからも練習を重ねて行きます。
丁寧にご回答くださり、ありがとうございました。

回答No.4

noname#24477

p=-2の場合
P(-2,4)
BPはx軸に平向な直線
その垂直２等分線がx＝0 (これはy軸になります)

お礼

度重なる質問にご回答いただき、ありがとうございます。
返信が遅れ、申し訳ありません。
ようやくわかるようになりました。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

なんと答えて良いのか?
＜(２)のときはただx=0となるだけなのに、＞

質問の中にすでに答えがあると思いますが
まず、x＝0 というのは直線の式だということは良いですか?

(1)からはy＝mx+n のような式が出てきますね。この式をいくらひねくりまわしても(2)の式は作れません。
傾きを利用して式を求めるときはx軸に垂直な直線は別扱いになります。
たとえ最終的な結果が同じようになったとしても場合分けするべきでしょう。

補足

ご回答をありがとうございます。

＞x＝0 というのは直線の式だということは良いですか?

いや、わかってなかったです。直線だなんて思ってもみなかったです。
x=0なのになぜこんなことに注目するのかと疑問だったくらいです。

この問題の場合、x軸に垂直な場合は線分BPに垂直という条件を満たさないから
必要ないのではと思ったんですが・・・。
ｐ≠-2だけの条件で方程式はBPに垂直ということを示せるような
そんな気がして、あ、ｐ=-2のときでも線分BPの垂直二等分線の方程式が
成り立つかもしれないから、調べてみるということでしょうか？

こんがらがってます・・・

回答No.2

lonely_saboten

(p^2-4)/(p-2) = (p+2)(p-2)/(p-2)　
　　　　　　　= p+2
という意味ですね。今、気づきました。

でも、上のように式変形する際に、p-2が分母に来ていますよね。

分母に０が来ると、数学的に駄目なので場合わけする必要があるのだと思います。

補足

ご回答をありがとうございます。
ん～、もし、分母が0にならないようにするためだけなら、ｐ≠-2だけの条件でも
十分なような気がして、しかも、垂直な線分の方程式を求めるので、
ｐ=-2のときの場合分けはこの問題の場合、必要ないんじゃないかと思うんですよ。

回答No.1

lonely_saboten

BPの傾きが違うと思います。

BPの傾き＝(p^2-4)/(p-2) です。
分母は０にはなりえないので、p-2=0　または p-2≠0で場合わけをしています。

それにしても、もう少し賢いとき方がありそうな気がしますが・・。私には思いつきませんが。(^^;