東大入試過去問

質問

以下の問題の解法をわかりやすく教えていただけませんか?

放物線ｙ=x^2上に二点P，Ｑがある。線分PQの中点のｙ座標をhとする。

　・線分ＰＱの長さＬと傾きmで、hを表せ。
　・Ｌを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

P(x1,x1^2) Q(x2,x2^2) とします。

　 線分ＰＱの勾配がm ですから　m=(x2^2-x1^2)/(x2-x1)=x1+x2 が成り立ちます。また、
　　中点のｙ座標がｈですから　２ｈ=x1^2+x2^2 　これより 2h=(x1+x2)^2 -2x1・x2=m^2-2x1・x2 ⇒　ｘ１・x2=m^2/2 -h となります。ここで

　ピタゴラスの定理より L^2=(x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2=(x2-x1)^2{1+(x1+x2)^2}={(x1+x2)^2-4x1・x2}{1+(x1+x2)^2}

となりますから、これに上の二つの式を代入すると L,m,h だけの式ができますね。あとは御自分でどうぞ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

これ何時の東大の問題？　記憶にないが、つまらない問題。

Ｐ(α、α＾2)、Ｑ(β、β＾2)とすると、2h＝α＾2＋β＾2　‥‥(1)
Ｌ＾2＝(α-β)＾2＋(α＾2-β＾2)＾2＝(α-β)＾1*{1＋(α＋β)＾2}。m＝α＋βだから　α-β＝nとすると、Ｌ＾2＝n＾2*(1＋m＾2)。
(1)より　h＝α＾2＋β＾2＝(α＋β)＾2＋(α-β)＾2＝m＾2＋(Ｌ＾2)/(1＋m＾2)＝(m＾2＋1)＋(Ｌ＾2)/(1＋m＾2)－1と変形すると　相加平均・相乗平均が使える。

続きは　自分でやって。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

151A48

P(α,α^2) , Q(β,β^2) とおくと
h=(α^2+β^2)/2 , m=α+β, L^2=(α-β)^2 +(α^2-β^2)^2
これらよりhをL, mの式にします。
最小値はhをmの関数とみて、微分して増減を調べますが、t=m^2 のようなおきかえをした方がよいでしょう。極値をとる点の位置により場合分けが必要。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

この問題を見たときに「点Pと点Qってどこ？どこに置いてるの？」って思ったかもしれません。
その疑問点から、この問題の回答はスタートしていくかと。

ひとまず、点Pと点Qの x座標を置いてみてください。
すると、それらを用いて「線分の長さ」も「傾き」も「中点の y座標」も表すことができます。

最小値は微分して求めることになると思います。

お礼

ありがとうございました。