一般性について

質問

ある問題で、
xy平面の放物線y=x^2上の３点P,Q,Rが次の条件をみたしている。
三角形PQRは、一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√２　である。
このとき、aの値を求めよ。
というものがありました。

解答はP,Qのx座標の関係をaで表し、線分PQの中点をMとして、ベクトルMR⊥ベクトルPQの関係を成分で表示して、Rの座標をaで表し、Rが放物線上にあることを利用してaの値を決める、というものでした。

ただここで気になったのが、解答の最初に

「P（p,p^2） Q（q,q^2）　とおく。
　この時、p<qとしても一般性を失わない。」
　とあることです。
なぜこのようにかけるのでしょうか。そこがよく分かりません。
解答の方針でいくと、確かにp,qの大小は関係ないと思うのですが、
いざ解くとなると、書けないような気がします・・・。

問題を解く際に、どのように一般性を失うかどうかを判断するのでしょうか。
そこを教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>なぜこのようにかけるのでしょうか。そこがよく分かりません。

単純に題意を満たすような三角形を書こうとすると、
P、Q の順番が決まらない(逆にしても題意を満たす)ことに気付くでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！
koko_u_さんの回答をもとにいろいろ考えてみたところ、問題をとくにあたって、aの長さを求めるのに、Ｐ、Ｑの位置を逆にしても全く支障がなく、題意をみたすから、一般性を失わないといえるのだと分かりました。
これからはもう迷うこともなさそうです。
このような分かりくい質問にすぐに回答していただき、本当にありがとうございました！！