三角形PQRの一辺の長さaの値を求める問題
- xy平面の放物線y=x^2上の３点P,Q,Rが条件をみたしている問題。
- 問題の解答では、点P,Qを通る直線の傾きや線分PQの中点を利用してaの値を求める方法が示されている。
- しかし、解答の最初に「p<qとしても一般性を失わない」ということが書かれており、なぜそうかがよく分からないとのこと。
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一般性について
ある問題で、 xy平面の放物線y=x^2上の３点P,Q,Rが次の条件をみたしている。 三角形PQRは、一辺の長さaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは√２ である。 このとき、aの値を求めよ。 というものがありました。 解答はP,Qのx座標の関係をaで表し、線分PQの中点をMとして、ベクトルMR⊥ベクトルPQの関係を成分で表示して、Rの座標をaで表し、Rが放物線上にあることを利用してaの値を決める、というものでした。 ただここで気になったのが、解答の最初に 「P（p,p^2） Q（q,q^2） とおく。 この時、p<qとしても一般性を失わない。」 とあることです。 なぜこのようにかけるのでしょうか。そこがよく分かりません。 解答の方針でいくと、確かにp,qの大小は関係ないと思うのですが、 いざ解くとなると、書けないような気がします・・・。 問題を解く際に、どのように一般性を失うかどうかを判断するのでしょうか。 そこを教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
- hanamichi0512
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>なぜこのようにかけるのでしょうか。そこがよく分かりません。 単純に題意を満たすような三角形を書こうとすると、 P、Q の順番が決まらない(逆にしても題意を満たす)ことに気付くでしょう。
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お礼
回答ありがとうございます！ koko_u_さんの回答をもとにいろいろ考えてみたところ、問題をとくにあたって、aの長さを求めるのに、Ｐ、Ｑの位置を逆にしても全く支障がなく、題意をみたすから、一般性を失わないといえるのだと分かりました。 これからはもう迷うこともなさそうです。 このような分かりくい質問にすぐに回答していただき、本当にありがとうございました！！