放物線上の正三角形

質問

東大の問題なのですが、
xy平面の放物線上の3点P，Q，Rが次の条件を満たしている。
三角形PQRは一辺の長さaの正三角形であり、点P，Qを通る直線の傾きは√2である。
このとき、aの値を求めよ。
という問題の解説を見ていると、PQが右下に来る(上の図)のしか乗っていなくて、もしかしたら上に来るかもしれない(下の図)と思ったのですが、なぜ右下のだけ出せばいいのでしょうか？

回答No.1

staratras · ベストアンサー

東京大学の問題は放物線の式y=x^2が与えられていました。グラフを描くと、RがPQの下方に来たのでは正三角形ができそうもないことは明らかですが、厳密にはそれを示す必要があるでしょうね。そこでそれを示さずに済む（というか途中で明らかになる）解法を考えてみました。要は放物線y=x^2 上の相異なる2点の傾きはそのx座標の和になる【（１）の計算参照】ということです。このため直線の傾きを求めるだけで2頂点の中点のx座標がわかります。なお加法定理を使った計算部分は省略しています。

y=x^2 上にある正三角形の2頂点をP(p,p^2),Q(q,q^2)（p<q）としても一般性を失わない。

PQを通る直線の傾きが√2　だから(q^2-p^2)/q-p=p+q=√2 …（１）

正三角形の残りの頂点RはPQを通る直線と成す角が±60度となる2直線の交点である。ただし時計回りを正とする。

PRを通る直線となす角度が+60度の直線の傾きを加法定理で計算すると
（3√3-4√2)/5 となる…（２）

PQを通る直線となす角度が-60度の直線の傾きを加法定理で計算すると
-(3√3+4√2)/5 となる…（３）

このうちどちらかがPRを通る直線の傾きであり。もう一方がRQを通る直線の傾きであるがいずれの場合でも
(（１）+（２）+（３）)/2より
p+q+r=-3√2/5　∴(p+q+r)/6=-√2/10<0 また（１）より(p+q)/2=√2/2>0
これは正三角形PQRの各辺の中点を結んだ正三角形の重心のx座標すなわち正三角形PQRの重心のx座標が正三角形の辺PQの中点のx座標より左側、
つまりPQを通る直線の左側（上側）にあることを示す。正三角形はPQの上方にある。

したがってPRを通る直線とPQを通る直線のなす角度は-60度で、
p+r=-(3√3+4√2)/5 …（４）
QRを通る直線とPQを通る直線のなす角度は+60度で、
q+r=（3√3-4√2 )/5 …（５）

(５)−(４)より　q−p＝6√3/5　p+q=√2　よりq^2-p^2=(q+p)(q-p)=6√6/5

∴a=√((q-p)^2+(q^2-p^2)^2)=√(108/25＋216/25）=√（324/25）=18/5

お礼

ありがとうございます！めちゃくちゃ綺麗に証明してあって、すごく分かりやすかったです！

回答No.2

staratras

誤記の訂正です。失礼しました。

誤：PRを通る直線となす角度が+60度の直線の傾きを加法定理で計算すると
（3√3-4√2)/5 となる…（２）

正：PQを通る直線となす角度が+60度の直線の傾きを加法定理で計算すると
（3√3-4√2)/5 となる…（２）