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数学II 円と直線

数学II 円と直線の問題です。 途中まで挑戦してみましたがわかりませんでした。 ご解説をお願いいたします。 具体的な式を書いてくださるととても助かります。 問題 点P(A , B)を中心とする、半径Rの円(X-A)^2+(Y-B)^2=R^2がある。 点Pは、直線Y=-X-3 上にある。 この円が、放物線Y=X^2 と点Q(-2,4)で接しているとする。 このとき、点Qにおける共通接線の方程式を求めよ。 また、A,Bの値を求めよ。 やってみたこと ・PQが円の半径なので、 PQと共通接線は直交すると思った。 が、PQの傾きがわからず、計算にどう生かして良いかわからなかった。 ・点P(A,B)は直線上の点なので、直線の式に座標を代入し点P(A、-A-3)としてみた。 ・点P(A,B)はY=X^2上の点なので、放物線の式に座標を代入し点P(A、A^2)としてみた。 全く的をいていないようで、解答にたどりつけません・・・。

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  • 回答No.4
  • gon4
  • ベストアンサー率30% (4/13)

共通接線を y = ax + b・・・・・・(1) とおくと(-2,4)を通るから b = 2a +4 より(1)式は         y = ax + (2a+4) ・・・・・(2)  とおける ここで (2)は y = x^2 と接するので x^2 -ax-(2a+4) = 0 の判別式=0となる。から         a^2 + 4(2a+4) = 0 より a = -4・・・・・・・(3)            (2)から (1)は y = -4x -4 ・・・・・・・・・・・(4) 一方 円の中心(A,B)は y = -x -3 上にあるから B = -A-3より                  中心は(A, -A-3) と書ける          円の中心 と Q点の傾きは -4 x m' = -1 (公式)から m' = 1/4     よって 円の中心とQ点を結ぶ線は y = 1x/4 + c ・・・(5) とおける     (5) は (-2,4) を通るから代入すると  c = 9/2 となり (5)は               y = 1x/4 + 9/2 ・・・・・・・・・・・・(6)     これが(A,B) つまり (A,-A-3) を通るから代入すると     A = -6, また B = -A-3より B =3 となりますが、     合っているでしょうか。微分を使わずに処理したけど     そろそろ、眠くなってきました。失礼します。                  

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その他の回答 (4)

  • 回答No.5

円:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上の点(α、β)における接線の方程式は、(α-a)*(x-a)+(β-b)*(y-b)=r^2 で求めらる事は、教科書で学んているはずだ。 それを使ってみよう。 点(-1、4)を通る放物線の接線はmを定数として、y=m(x+2)+4 だから、放物線y=x^2と連立してyを消去するとxの2次方程式になる。 これが重解を持つから 判別式=0より m=-4 から、接線の方程式は y+4x+4=0 ‥‥(1) また、円上の点(α、β) 但し、α+β=3 ‥‥(2) における接線は、(-2-α)*(x-α)+(4-β)*(y-β)=r^2 だから、整理すると、(4-β)y-(α+2)x+(α^2+2α+β^2-4β-r^2)=0 ‥‥(3) (1)と(3)が同一直線から、おのおのの係数は比例する。 よって、(4-β)/1=-(α+2)/(4)=(α^2+2α+β^2-4β-r^2)/(4)になる。 これを解くと(2)を使い(α、β、r^2)=(-6、3、17)になる。 以上から、共通接線は y+4x+4=0 で 円は (x+6)^2+(y-3)^2=17 になる。

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  • 回答No.3

NO.2の続きです。 (-2,4)で放物線に接している直線の傾きをmとすると この直線は y=mx+2m+4 これが y=x^2 に接しているから、連立させた時の解は1つ。 x^2=mx+2m+4 が重解を持つので D=0より m=-4 よって 接線は y=-4xー4 (-2,4)を通り接線に垂直な直線は y=1/4x+9/2  この直線と y=-x-3 との交点が 円の中心。 中心の座標は (-6、3) 半径は√17 となりますが計算違いがあればお許しください。

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質問者からのお礼

有難うございます。 微分は全く分からないので、テキストを先取りし「接戦の方程式」の部分だけ チラ見してみました。 が、やはりわからず(当然ですね・・・。)、 早くきちんと学んで身につけたいなと思いました! 有難うございます。 微分学習後、またこちらの回答にお世話になり再度復習したいと思います。

  • 回答No.2

紛らわしいことを言って申し訳ありませんが、問題がよく読み取れないので困っているのです。 共通接線はQで放物線に接しているんですよね。 だったら、円とは無関係に接線が求められませんか。 こんな解釈はできないのでしょうね。。

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質問者からのお礼

>こんな解釈はできないのでしょうね。  この一言の意図は?   それはそれとして、質問の内容ですが、放物線の接線を求める時に、もしかして微分積分を使うのですか?  違ったら申し訳ありません。 未学習なので、放物線の接線について微分積分を用いる方法は使わず、お願いします。

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

B = -A-3 としたのは良いことだ。 しかし、これだけで B は消去されてしまうから、 B = A^2 としてみたことには、あまり意味がない。 > この円が、放物線Y=X^2 と点Q(-2,4)で接している という条件の使い方は、 円の X = -2 における Y と dY/dX の値がわかった …とするのが良い。 X = -2 のとき Y = 4。 Y = X^2 の傾きは、dY/dX = 2X だから、 X = -2 のとき dY/dX = -4。 これを、(X-A)^2 + (Y+A+3)^2 = R^2 へ代入すればよい。 そのまま X = -2, Y = -4 を代入して一式。 両辺を X で微分してから X = -2, Y = -4, dY/dX = -4 を代入して もう一式。 その二式を A と R の連立方程式として解けば、 円の方程式が求まる。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。  やっぱり微分(?)がベストなのでしょうが、微分積分は使わずお願いします。 dの意味もわからないのですが、微分につかう何かでしょうか。

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