• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学II 円と直線

数学の問題で、途中まで解いてみたもののわからなくなりました。 ご解説をお願いできたらと思います。 問題1, 円 X^2+Y^2ー4KXー2KY+20K-25=0 は、 どんな実数Kに対しても2つの定点を通る。その定点の座標を求めよ。 やってみたこと  円の式を、(   )^2+(    )^2=半径2乗の形にしてみたがその後どうして良いかわからず。 Kについて整理してみたもののその後どうして良いかわからず。 問題2、 中心がX+Y=5 上にあり、半径が√10である円がある。 この円が、X軸から長さ6の線分を切り取るとき、円の半径を求めよ。 やってみたこと 中心の座標を(M、N)とした。 X軸は、式がY=0の直線だとわかった。 そこで中心と半径を、 仮に決めた円の式(XーM)^2+(Y-N)^2=R^2 に代入した。 すると(XーM)^2+(Y-N)^2=10 となった。 また、円と直線の交点座標を求めるため、↑の円の式にY=0を代入した。 この後どうして良いかわからなくなった。 上記のような状態です。 ご解説をお願いいたします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

>問題2、円の半径を求めよ 半径ではなく、円の方程式を求めよ、の書き込みミスだろう。 そのくらいは、回答者も察してやれよ。 円の中心をP(α、β)とすると、円は(x-α)^2+(y-β)^2=10 ‥‥(1) 但し、α+β=5 ‥‥(2) y=0とすると、x^2-2αx+α^2+β^2-10=0 である。 この方程式の2解が x軸との2つの交点だから、それを、x1、x2(x1>x2)とすると、x1+x2=2α x1*x2=α^2+β^2-10。 条件より、x1-x2=6  → (x1-x2)^2=36 → (x1+x2)^2-4x1*x2=36 だから β^2=1 ・β=1のとき、(2)よりα=4 つまり、(x-4)^2+(y-1)^2=10  ・β=-1のとき、(2)よりα=6 つまり、(x-6)^2+(y+1)^2=10 

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

こちらのミスを汲んで下さり、ありがとうございます。 円の方程式を求めよ、でした。 具体的な途中式があり、 実際に手元で計算してみてとてもよくわかりました。 βの場合分けまで書いて下さりわかりやすかったです。 ありがとうございます。

その他の回答 (9)

  • 回答No.10

ありがとうございました。ご助言とご忠告には心いたしておきます。 今後もお気づきの事ありましたらご教授くださいますよう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.9

>y座標がNの点からx軸へ下ろした垂線の長さは |N| である。」 それなら良いと思います、と言うより“許容範囲”というところか。 私が言いたいことは、座標の問題は素直に座標でやったほうがbetterだということです。 平面幾何を座標でやることがあるが、その逆は慎重にやったほうが良い。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.8

y座標がNの点からx軸へ下ろした垂線の長さは |N| である。」はだめですか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.7

>長さにするには絶対値をつけなければなりません。」と考えるだけではだめでしょうか。 だめでしょうね。 それでは、答えがN=±1 になることを前提にしている。 なぜ、x軸に関して対称になるようにとるか、の説明になっていない。 答えがわかってて解法を逆算しただけに過ぎない。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.6

N0.5の方のご指摘どおり、Nはy座標ですから、長さにするには絶対値をつけなければなりません。」と考えるだけではだめでしょうか。 底辺は3、高さは( N )、斜辺は√10 ですから ( N=1 ) がでます。 の( )内の N を |N| に、 N=1 を N=±1 に M+N=5 より ( M=4 ) がでます。の M=4 を M=4,6 に と修正してもだめでしょうか。 これが理由にならないなら、とりあえず回答全体を消去させていただこうと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.5

ついでに、以下も書き換えてほしい。。。。。w >底辺は3、高さはN、斜辺は√10 ですから ( N=1 ) がでます。 の >N=1 を N=±1 に Nは高さなんだから、常に N>0。 従って、N=-1 にはなりえない。 さて、どうするのか? Nの絶対値を考えるにしても、理由が必要。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.4

No.2の回答者です。申し訳ありませんが、1箇所ミスをしていましたので、下記のように読み替えてください。 底辺は3、高さはN、斜辺は√10 ですから ( N=1 ) がでます。 の N=1 を N=±1 に M+N=5 より ( M=4 ) がでます。の M=4 を M=4,6 に 書き換えてくださいますようお願いをいたします。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

(1)「どんな実数Kに対しても」という言葉が出ていればそのkについてまとめることでしょう。 ーk(4x+2y-20)+(x^2+y^2ー25)=0 どんなkの値に対してもこれが成り立つのは 4x+2y-20=0 x^2+y^2ー25=0 が成り立つときですね。 連立して解いてください。   (x、y)=(3,4)、(5,0) (2)半径を求めよ。と書かれているのに半径√10の円とも書かれています。 このまま 簡単に図を書いてみてください。 中心の座標を(M、N)とする 中心からx軸に垂線を下ろしてください。直角三角形ができますね。 底辺は3、高さはN、斜辺は√10 ですから N=1 がでます。 M+N=5 より M=4 がでます。 これなら数IIの問題ではありませんね。 私が読み間違えているのでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

問題2,「円の式を求めよ」の誤りでした。申し訳ありません。 問題1は参考にさせていただきました。ありがとうございます。

  • 回答No.1

問題1 「どんな実数Kに対しても」(「実数Kの値に関わらず」とか、似たような表現でも) を見て、何か感じるものありませんか? 「あ、Kについての恒等式」と思えたら、大正解で、 その点で、「Kについて整理してみた」のは、非常にいい線だったのですが、 おしかったですね。「Kについての恒等式」として、満たさないといけない 条件を考えれば、答えは、ポロリと転がってきます。 問題2 半径が与えられていて、半径を求めよ、は、おかしくないですか? きっと、中心の座標を求めるんですよね? で、あれば、「中心の座標を(M,N)とした」のは、必ずしも悪くありませんが、 条件から、M,Nの関係が解るので、未知数は1文字ですませた方が、 もっとよくありませんか? で、「また、円と直線の交点座標を求めるため、↑の円の式にY=0を代入」 してでてくるのは、2つの交点のx座標、これが上から、M,Nどっちかの式で 出てきます。 で、「この円が、X軸から長さ6の線分を切り取る」ならば、その2つの x座標について成り立つ式は?と、考えると、答え出てくると思います。 もしも「切り取る線分」の意味が解らないんだとしたら、 x軸の一部が、円の弦になりますよね。そこの部分のことで、 その弦の長さが6と言っている訳です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

問題2,「半径を求めよ」ではなく「円の式を求めよ」です。混乱させてしまい申し訳ありません。 具体的な式を描いてくださった別回答者さんにベストアンサー差し上げましたが、 参考にさせていただきました。 ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 数学II 円と直線

    次の問題の解き方がわかりません。 「直線Y=2X+Kが、円X^2+Y^2=4によって切り取られる弦の長さが、2√2のとき、定数Kの値を求めよ。」 弦の長さは、 直線の式と円の式を連立して、解が共有点の座標となり、 その座標を用いて求めることはわかります。 共有点のX座標をそれぞれm、nと置いてみたりもしましたが、 K、m,nがいつまでも消去できませんでした。 この問題では、定数Kをどう対処していいかわかりません。 ご解説お願いします。

  • 数学II 円と直線

    御世話になっております。円と直線の基本的な問題なのですが、どうしても途中で?になってしまいます。一応馬鹿なりにやってみたのですが、明らかにおかしい点をご指摘下さると助かります。 問「円x^2+y^2=1と直線y=x+kについて、(1)直線が円に接するときの定数kの値と接点の座標を求めろ」 まず、2式の連立方程式を立てる。 {x^2+y^2=1…(1) y=x+k…(2) (2)を(1)に代入して整理し、 2x^2+2kx+(k^2-1)=0 条件「接する」を満たすには、(2k)^2-4・2(k^2-1)を整理して…… -4(k^2-2)=0 となる。 で、この後ですが、kについて解くと、k=±√(2) となりますが、これは間違いでしょうか? 少なくとも判別式D=0を満たすには、kの解は重解でただ一つの実数解しか得られない気がするのですが… ちょっと混乱してます。 いずれにしても、この問題の解法は、 (1)円と直線の連立方程式をたて、大抵は代入法で一文字にまとめ、二次式ax^2+bx+c=0にする (2)条件に則り、判別式を立てて、未定数kを解く。 (3)得たkを二次式に代入してxを得る (4)直線の方程式にxを代入してyを得る。これが共有点の座標ナリ 何卒ご回答願います。

  • 数学II 円と直線

    数学II 円と直線の問題です。 途中まで挑戦してみましたがわかりませんでした。 ご解説をお願いいたします。 具体的な式を書いてくださるととても助かります。 問題 点P(A , B)を中心とする、半径Rの円(X-A)^2+(Y-B)^2=R^2がある。 点Pは、直線Y=-X-3 上にある。 この円が、放物線Y=X^2 と点Q(-2,4)で接しているとする。 このとき、点Qにおける共通接線の方程式を求めよ。 また、A,Bの値を求めよ。 やってみたこと ・PQが円の半径なので、 PQと共通接線は直交すると思った。 が、PQの傾きがわからず、計算にどう生かして良いかわからなかった。 ・点P(A,B)は直線上の点なので、直線の式に座標を代入し点P(A、-A-3)としてみた。 ・点P(A,B)はY=X^2上の点なので、放物線の式に座標を代入し点P(A、A^2)としてみた。 全く的をいていないようで、解答にたどりつけません・・・。

  • 数学II 直線と距離

    数学II 直線と距離 直線 (k-2)x+(k-1)y-4k+1=0 は定数kの値に関係なく定点を通ることを示し、その定点の座標を求めなさい。 という問題なのですが、文字kについて整理し、 (x+y-4)k-(2x+y-1)=0が定数kに関係なく成立する。 つまり、x+y-4=0かつ2x+y-1=0を満たすというところまで分かったのですが、ここから先がさっぱりです。 ここからの解法を教えてください。

  • 円と直線

    円x^2+y^2-x-y-2=0と直線3x+y-2=0の2つの交点および原点を通る円の中心と半径を求めよ。答えには定数kを使うと書いてあるのですが分かりません。 点P(0,-3)を通り、円x^2+y^2+2x-1=0に接する直線の方程式と、座標を求めよ。 教えてください。

  • 数学IIの問題です。教えて下さい

    座標平面上の2点(-8.0)、(0.6)を通る直線をlとする。また点A(6.-2)を通り、 直線lに平行な直線をmとする。さらに2直線l、mの両方に接する円をKとする。 2直線l、mの両方に接し、かつx軸にも接する円Kは2つある。この2つの円の中心 をB,Cとする。B,Cの座標を求めよ。ただし(点Bのx座標)<(点Cのx座標)とする。 また、円Kの中心が線分BC上を動くとき、円Kが通過する部分の面積を求めよ。 直線の求め方はもちろん分かるのですが、「円Kの中心が線分BC上を動くとき・・」 というところをどうすればいいのかが分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします!!

  • 直線と円に接する円の中心座標

    直線と円に接する円の中心座標を求める方法がわからなく困っています。どなたかご存知の方いませんか。 円の半径 R12.2(中心座標X-9.3, Y48.527) 直線   (X0, Y10.15)を始点として95度 接円   R17.3 ← この円の中心座標が知りたいです。

  • 2直線と円に接する円

    X軸と平行な線(x=-22.5)とY軸と平行な線(Y=-14)とある大きさの円(半径50)中心(0、0)が 有る場合にその2直線と円に接する円の半径と中心点を求めるにはどうしたらよいでしょうか? 実は、新しいJISマークを正確に作図しようとしたら必要となりましたので、ご教授お願いします。

  • 数II 二つの円

    x^2+y^2-1+k(x-y-√2)=0(k≠-√2)―(1)とx^2+y^2=9―(2)が共有点を1つ持ちk>0のときkの値をもとめよ (1)の定点ではA(√2/2,-√2/2)で(2)の内側にあるので(1)は(2)に内接している つまり((2)の中心から(1)の中心間での距離)+(1)の半径=3になればいい って言うのはわかります、、が(1)の半径がもとめかたが分かりません;; 誰か教えてください(>_<)

  • 円と直線

    座標平面上に円C(x²+y²-6x-2y+6=0) 直線L(8x+15y-22=0)があり円Cと直線Lは異なる2点P、Qで交わっている 1、円Cと中心と半径を求めよ 2、円Cの中心と直線Lとの距離を求めよ、また線分PQの長さを求めよ 3、連立不等式 x²+y²-6x-2y+6≦0           8x+15y-22≧0           が表す領域の面積を求めよ           y≦2