円と直線

質問

円x^2+y^2-x-y-2=0と直線3x+y-2=0の2つの交点および原点を通る円の中心と半径を求めよ。答えには定数kを使うと書いてあるのですが分かりません。

点P(0,-3)を通り、円x^2+y^2+2x-1=0に接する直線の方程式と、座標を求めよ。

教えてください。

回答No.3

info22

そもそも数学には理系、文系の区別はないですね。

>そもそもなんで定数kを使って解くのかが分からないので教えてください。
＞ x^2+y^2-x-y-2 +k(3x+y-2)=0 …(A)
これが円の式となることは式を変形すれば分かるでしょう。
(x-p)^2 +(y-q)^2=r^2
p=(3k-1)/2, q=(k-1)/2,
r^2=(5/2)(1+k^2)

この曲線（A)が
x^2+y^2-x-y-2=0　と　3x+y-2=0 …(B)
の交点(a,b)を通る事は
[実際の交点は(0,2),(1,-1)です。]
(a,b)を代入すれば
a^2+b^2-a-b-2=3a+b-2=0で
あることから
(A)を満たすことが分かると思います。
a^2+b^2-a-b-2+k(3a+b-2)=0

kはなんであっても成立します。
以上から
(A)が円の方程式で、かつ、
(B)の交点を通る
ことが分かったでしょう。

後半
文科系の場合、二次関数の接線の式は暗記された方が良いかと思います。
覚えやすい式の形をしていますし、解答時間を大幅に短縮できます。

回答No.2

info22

2つの交点が存在すると言う条件が満たされる時
その2つの交点を通る円の方程式は定数kを使って

x^2+y^2-x-y-2 +k(3x+y-2)=0 …(A)

と表されます。

この円の方程式が原点(0,0)を通ることから原点の座標を上記の円の方程式に代入するとkの値が決定できます。

-2-2k=0 ⇒　k=-1

このkを(A)に代入してやれば良いでしょう。

後半
円の式
x^2+y^2+2x-1=0　⇒　(x+1)^2 +y^2 = 2
この円周上の点(xo,yo)における接線の式は公式から
(x+1)(xo+1)+yyo=2 …(1)
ここで
(xo+1)^2 +yo^2 =2 …(2)
この式が点Pを通る為にはP点の座標を代入して成立すればいいから
xo+1-3yo=2 …(3)
(2)と(3)から接点の座標(xo,yo)を求めると
(-2,-1),(2/5, -1/5)
これらを(1)に代入すれば2本の接線が求まります。

あとは出来ますね。
分からない場合は
解答を補足にかいて分からない所を質問して下さい。

補足

回答ありがとうございます。　
質問の書き方分かりにくかったと思うのですが、そもそもなんで定数kを使って解くのかが分からないので教えてください。
後半の問題は接線の公式とか分からないので高2レベルの解き方でお願いします。
文系で数学が苦手なのでお願いします。

回答No.1

Meowth

(x^2+y^2-x-y-2)+k(3x+y-2)＝0
これが原点を通るのは、
- 2 k - 2＝0
k=-1
x^2+y^2-2 y-4 x=0

円x^2+y^2+2x-1=0
は
(x+1)^2+y^2=2
接点を(x0,y0)とすると
これに円に接する直線
(x0+1)(x-x0)+y0(y-y0)=0
(x0+1)^2+y0^2=2
(0,-3)をとおるのは、
-x0(x0+1)+(-y0-3)y0＝0
-x0^2-x0-y0^2-3y0=0
円の式から
x0^2+y0^2+2x0-1=0
辺々加えて、
x0＝3y0＋1　
(3y0+1)^2+y0^2+2(3y0+1)-1=0
(y0+1) (5y0+1)=0
y0=-1,-1/5
x0=-2,2/5
接線の式は、
x+y+3=0
7x-y-3=0