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円と直線

円x^2+y^2-x-y-2=0と直線3x+y-2=0の2つの交点および原点を通る円の中心と半径を求めよ。答えには定数kを使うと書いてあるのですが分かりません。 点P(0,-3)を通り、円x^2+y^2+2x-1=0に接する直線の方程式と、座標を求めよ。 教えてください。

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みんなの回答

  • 回答No.3
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

そもそも数学には理系、文系の区別はないですね。 >そもそもなんで定数kを使って解くのかが分からないので教えてください。 > x^2+y^2-x-y-2 +k(3x+y-2)=0 …(A) これが円の式となることは式を変形すれば分かるでしょう。 (x-p)^2 +(y-q)^2=r^2 p=(3k-1)/2, q=(k-1)/2, r^2=(5/2)(1+k^2) この曲線(A)が x^2+y^2-x-y-2=0 と 3x+y-2=0 …(B) の交点(a,b)を通る事は [実際の交点は(0,2),(1,-1)です。] (a,b)を代入すれば a^2+b^2-a-b-2=3a+b-2=0で あることから (A)を満たすことが分かると思います。 a^2+b^2-a-b-2+k(3a+b-2)=0 kはなんであっても成立します。 以上から (A)が円の方程式で、かつ、 (B)の交点を通る ことが分かったでしょう。 後半 文科系の場合、二次関数の接線の式は暗記された方が良いかと思います。 覚えやすい式の形をしていますし、解答時間を大幅に短縮できます。

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  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

2つの交点が存在すると言う条件が満たされる時 その2つの交点を通る円の方程式は定数kを使って x^2+y^2-x-y-2 +k(3x+y-2)=0 …(A) と表されます。 この円の方程式が原点(0,0)を通ることから原点の座標を上記の円の方程式に代入するとkの値が決定できます。 -2-2k=0 ⇒ k=-1 このkを(A)に代入してやれば良いでしょう。 後半 円の式 x^2+y^2+2x-1=0 ⇒ (x+1)^2 +y^2 = 2 この円周上の点(xo,yo)における接線の式は公式から (x+1)(xo+1)+yyo=2 …(1) ここで (xo+1)^2 +yo^2 =2 …(2) この式が点Pを通る為にはP点の座標を代入して成立すればいいから xo+1-3yo=2 …(3) (2)と(3)から接点の座標(xo,yo)を求めると (-2,-1),(2/5, -1/5) これらを(1)に代入すれば2本の接線が求まります。 あとは出来ますね。 分からない場合は 解答を補足にかいて分からない所を質問して下さい。

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。  質問の書き方分かりにくかったと思うのですが、そもそもなんで定数kを使って解くのかが分からないので教えてください。 後半の問題は接線の公式とか分からないので高2レベルの解き方でお願いします。 文系で数学が苦手なのでお願いします。

  • 回答No.1
  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)

(x^2+y^2-x-y-2)+k(3x+y-2)=0 これが原点を通るのは、 - 2 k - 2=0 k=-1 x^2+y^2-2 y-4 x=0 円x^2+y^2+2x-1=0 は (x+1)^2+y^2=2 接点を(x0,y0)とすると これに円に接する直線 (x0+1)(x-x0)+y0(y-y0)=0 (x0+1)^2+y0^2=2 (0,-3)をとおるのは、 -x0(x0+1)+(-y0-3)y0=0 -x0^2-x0-y0^2-3y0=0 円の式から x0^2+y0^2+2x0-1=0 辺々加えて、 x0=3y0+1  (3y0+1)^2+y0^2+2(3y0+1)-1=0 (y0+1) (5y0+1)=0 y0=-1,-1/5 x0=-2,2/5 接線の式は、 x+y+3=0 7x-y-3=0

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