円と直線

質問

座標平面上に円C(x²＋ｙ²－6ｘ－2y＋6＝0)
直線L(8x＋15ｙ－22＝0)があり円Cと直線Lは異なる２点P、Qで交わっている

１、円Cと中心と半径を求めよ

２、円Cの中心と直線Lとの距離を求めよ、また線分PQの長さを求めよ

３、連立不等式　ｘ²＋ｙ²－6x－2y＋6≦0
　　　　　　　　　　8x＋15ｙ－22≧0　　　　　　　　　　　が表す領域の面積を求めよ
　　　　　　　　　　y≦2

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

１．
円C
(x-3)^2 +(y-1)^2 =2^2
と円の標準形に変形すれば
円Cの中心(3,1),半径2
と分かる。

２．
円Cの中心(3,1)と直線L:8x＋15ｙ-22=0
との距離dは、点と直線の距離の公式より
　d=|8*3+15*1-22|/√(8^2+15^2)=1
3平方の定理より
(PQ/2)^2=2^2 -1^2=3
∴PQ=2√3

３．
図から
面積S=π*2*2-π*2*2*(4π/3)/(2π)+2*1*√3
=4π-8π/3+2√3
=(4/3)π+2√3

回答No.1

ferien

座標平面上に円C(x²＋ｙ²－6ｘ－2y＋6＝0)
直線L(8x＋15ｙ－22＝0)があり円Cと直線Lは異なる２点P、Qで交わっている

＞１、円Cと中心と半径を求めよ
平方完成により、
（ｘ^2－６ｘ＋９）＋（ｙ^2－２ｙ＋１）＝９＋１－６
（ｘ－３）^2＋（ｙ－１）^2＝２^2
中心（３，１）半径２

＞２、円Cの中心と直線Lとの距離を求めよ、また線分PQの長さを求めよ
距離の公式より、｜８×３＋１５×１－２２｜／√８^2＋１５^2＝１７／１７＝１
円の中心をＣとすると、△ＣＰＱは、ＣＰ＝ＣＱ＝２の二等辺三角形だから、
ＣからＰＱにおろした垂線の足をＨとすると、ＣＨ＝１，ＰＨ＝ＱＨ
△ＣＰＨは直角三角形だから、ＰＨ^2＝２^2－１^2＝３より、ＰＨ＝√３
よって、ＰＱ＝２√３

＞３、連立不等式　ｘ²＋ｙ²－6x－2y＋6≦0
＞　　　　　　　　　　8x＋15ｙ－22≧0　　　　　　　　　　　が表す領域の面積を求めよ
＞　　　　　　　　　　y≦2　
（２）の△ＣＰＨは１：２：√３の直角三角形だから、
角ＰＣＨ＝６０度より、角ＰＣＱ＝１２０度
弓形ＰＱの面積＝扇形ＣＰＱの面積－△ＣＰＱ
　　　　　　　＝２×２×π×(120/360)－(1/2)×２√３×１
　　　　　　　＝(4/3)π－√３
ｙ＝２と円Ｃの交点をＲ，Ｓとすると、ＲＳと中心Ｃの作る図形は、
ＰＱと中心Ｃの作る図形と全く同じだから、弓形ＲＳ＝弓形ＰＱ
３つの不等式が作る領域の面積は、
円Ｃの面積－弓形ＰＱの面積×２
＝２×２×π－｛(4/3)π－√３｝×２
＝４π－(8/3)π＋２√３
＝(4/3)π＋２√３

でどうでしょうか？図を描いて考えてみて下さい。