直線と円に接する円の中心座標

質問

直線と円に接する円の中心座標を求める方法がわからなく困っています。どなたかご存知の方いませんか。

円の半径　R12.2(中心座標X-9.3, Y48.527)
直線　　　(X0, Y10.15)を始点として95度
接円　　　R17.3 ← この円の中心座標が知りたいです。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

#1です。補足ありがとうございます。

>Y軸に対して95度です。(X0, Y10.15)を通る左上がりの直線です。

書いておられる図はX軸に対して95度のようですね。これを元に書いていきます。
#1で書いたように元の円に接する円の中心の集合は（#2さんも書いておられるように）
中心X-9.3, Y48.527、半径（12.2+17.3）です。
式で書くと

(X+9.3)^2+(Y-48.527)^2=29.5^2=870.25

また、元の直線と距離が17.3の線が通る点としては(0,10.15)を通り、
元の直線に垂直な線を考え、それで17.3をとると

x=±cos(5°)*17.3=±17.234
y=10.15±sin(5°)*17.3=11.658、8.642

また、tan(95°)=-11.43

ということで

(X+9.3)^2+(Y-48.527)^2=870.25

と

Y=-11.43*(X-17.234)+11.658

もしくは

Y=-11.43*(X+17.234)+8.642

の交点になります。最大4点あります。（元の円と直線が交わってますので）
とりあえず、第一象限にくるのが（12.245,68.682）、第二象限にくるのが
(-18.265,20.422)だと思います。（検算してください。手抜きでExcelに
計算させました。）

お礼

ご回答ありがとうございました。試してみます。

回答No.2

Mr_Holland

円Ｏを中心(x0,y0)＝(-9.3,48.527)、半径ｒ＝12.2の円とし、直線ｌをy＝ax+b (a=tan95°≒-11.43、b=10.15)として、円Ｏに接し(内接or外接)直線ｌにも接する円Ｏ’を中心（Ｘ，Ｙ）、半径Ｒ＝17.3とおきます。

　この条件は次のように書き換えられます。
１）円Ｏ’と直線ｌが接する
　⇒　点Ｏ’と直線ｌとの距離はＲ
　⇒　Ｒ＝|aX-Y+b|/√(a^2+1)　　（ヘッセの公式から)　　・・・（ａ）
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/zutohouteisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kika/zutohouteisiki/suisen-no-nagasa.html

２）円Ｏと円Ｏ’が接する
　⇒　点Ｏと点Ｏ’の距離が|Ｒ±ｒ|　（複号は外接のとき＋、内接のとき－」
　⇒　(X-x0)^2+(Y-y0)^2＝(R±r)^2　　・・・・・（ｂ）

　したがって、円Ｏ’の中心が知りたい場合は、上記の式（ａ）と（ｂ）とを連立して、ＸとＹを求めればよいわけです。
　これを解くのは面倒なので方針だけ記しますと、式（ｂ）からＹ＝の式にして式（ａ）に代入します。次に、項を移項して右辺を√だけの式にして、両辺を自乗します。すると√が外れてＸについての４次方程式に帰着します。そこからＸを求めて、それを上の過程で求めたＹ＝の式に代入すれば、ＸとＹを求めることができます。

　なお、もし問題の直線が第２象限だけの半直線である場合は、円Ｏと直線ｌとの接点が第２象限に限定されることを保証しなければなりません。
　そのためには、円Ｏ’：(x-X)^2+(y-Y)^2＝R^2　と直線ｌ：y＝ax+b とを連立してその共有点がｘ≦０であることという条件を付加したらよいかと思います。

　あとは手間だけなので、地道に頑張ってください。

お礼

ご回答ありがとうございました。試してみます。

回答No.1

age_momo

直線　　　(X0, Y10.15)を始点として95度

これは何に対して95度なのでしょうか？
また、一方にしか伸びない半直線なのでしょうか？
とりあえず方針としては

半径12.2の円に半径17.3の円が接しているならその円の
中心の集合は中心X-9.3, Y48.527、半径（12.2+17.3）です。
これと直線と平行で距離が17.3の直線の交点になります。
（直線に接している円の中心の集合は平行な直線になります）

補足

すみませんでした。Y軸に対して95度です。(X0, Y10.15)を通る左上がりの直線です。

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