数学II 円と直線

質問

次の問題の解き方がわかりません。

「直線Y=2X＋Kが、円X^2+Y^2＝４によって切り取られる弦の長さが、２√２のとき、定数Kの値を求めよ。」

弦の長さは、
直線の式と円の式を連立して、解が共有点の座標となり、
その座標を用いて求めることはわかります。

共有点のX座標をそれぞれｍ、ｎと置いてみたりもしましたが、
K、ｍ，ｎがいつまでも消去できませんでした。

この問題では、定数Kをどう対処していいかわかりません。
ご解説お願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｘ＾２＋ｙ＾２＝４　にｙ＝２ｘ＋ｋ　を代入すると
ｘ＾２＋（２ｘ＋ｋ）＾２＝４
ｘ＾２＋４ｘ＾２＋４ｋｘ＋ｋ＾２＝４
５ｘ＾２＋４ｋｘ＋ｋ＾２－４＝０
という二次方程式になります。これを解くと
ｘ＝（－４ｋ±√（１６ｋ＾２－２０（ｋ＾２－４）））／１０
　＝（－４ｋ±√（８０－４ｋ＾２））／１０
この２解をｘ１、ｘ２とすると、直線と円の交点のｙ座標は２ｘ１＋ｋ、２ｘ２＋ｋになるので、弦の長さの二乗は
（ｘ１－ｘ２）＾２＋（２ｘ１－２ｘ２）＾２＝５（ｘ１－ｘ２）＾２
で与えられ、その値は８になります。

お礼

ありがとうございます。
省略せず途中式や考え方を書いて下さりとても助かりました。
解けました。ありがとうございます。

回答No.4

spring135

NO.2です。

＞この回答へのお礼

有難うございます。解答は「８」なのですが・・・
それが気になって、まだこちらの方法では解いてみていません。

何を言っているのかわかりません。問題は
「直線Y=2X＋Kが、円X^2+Y^2＝４によって切り取られる弦の長さが、２√２のとき、定数Kの値を求めよ。」
弦の長さは２√２と与えられ、Kを求めるのが目的です。

（２√２）＾2＝8はわかりますか。

お礼

>(2)より
>(α-β)^2＝(α+β)^2-4αβ＝(-4K/5)^2-4(K^2-4)/5=8/5
>K=±√10　　(4)
>これは(3)を満たす。
>よって(4)が解である。

すみません。
実際に解いてやってみましたが、
上記の意味が自分には難しくて理解できませんでした。
２ルート２　の２乗が　８　ということは判ります。　
K＝±√１０が解　とはどういう事でしょうか？

補足

何度もすみません。
わかりました。　この問題の答が±√１０ですね。

無事解けました。ありがとうございます。

回答No.3

tanukibuta

弦と直線との距離はいくつですか？

√２ですね。

これがわかれば、「点と直線との距離公式」に代入すればいいだけです。

お礼

ありがとうございます。
「弦と直線との距離」の意味がわかりません・・・。
なので点と直線との距離公式への代入もどのようにするのかピンときません。

回答No.2

spring135

直線Y=2X＋Kが、円X^2+Y^2＝４を連立してｘに関する2次方程式

5x^2+4kx+k^2-4=0 (1)

を導き、弦の長さと2つの根の関係を考えます。

交点のx座標をα,βとするとこれは(1)の2根です。

交点は(α、2α+K）,(β,2β+K)

です。弦の長さ^2は

(α-β)^2+(2α-2β)^2=5(α-β)^2=(２√２)^2=8

ゆえに

(α-β)^2＝8/5　　　(2)

(1)の実根条件は

(4K)^2-20(K^2-4)≧0

-2√5≦K≦2√5　　　(3)

(1)より

α+β=-4K/5
αβ=(K^2-4)/5

(2)より

(α-β)^2＝(α+β)^2-4αβ＝(-4K/5)^2-4(K^2-4)/5=8/5

K=±√10　　(4)

これは(3)を満たす。

よって(4)が解である。

お礼

有難うございます。解答は「８」なのですが・・・
それが気になって、まだこちらの方法では解いてみていません。