二次関数についての質問です

質問

ｘｙ平面上に放物線C：ｙ=ｘ＾2+ax+b　直線L：ｙ=ｔｘ+1-ｔ＾2がある
Cの頂点は点（ｔ/2、1/4）である
CとLは異なる2点P,Qで交わっている

（1）a,bをそれぞれｔで表せ
（2）ｔの取りうる範囲を求めよ
（3）線分PQの長さの最大値を求めよ

です。（1）はa=-t, b=(t^2+1)/4。（2）は-√5<ｔ<√5
となりました（合ってるか分かりませんが・・・）

（3）をどうやればいいかわかりません。教えていただけると嬉しいです

回答No.1

eco1900 · ベストアンサー

（1）Cの頂点が（t/2, 1/4)なので・・・ひとまず、これを使ってCを表します。
　　C：y＝(x－t/2)^2＋1/4
　　　　 ＝x^2－tx＋t^2/4＋1/4
　　　・・・これと元のC式の形を比較して、「a＝－t、b＝t^2/4＋1/4」。

　正解していると思いますよ^^v。

（２）CとLから、y消去して・・・
　　　「x^2＋(a－t)x＋b＋t^2－1＝0」
　　先程の、（１）の解答を代入して・・・
　　　「x^2－2tx＋5t^2/4－3/4＝0　・・・（A)」
　　C、Lは、異なる二点で交わるので・・・（A）の判別式Dとして
　　　D/4＝ｔ＾2－5ｔ＾2/4＋3/4＞０、整理してｔ＾2－3＜０　となるから、「－√3＜t＜√3」。

　こちらは、少し計算違いをしている気がします^^A。

（３）P、Qの交点を、ひとまず次のようにします。
　　　【その前に、L：f(x)と簡略化表示を使いますね^^A。】
　　　　P（α, f（α））　Q（β, f（β））
　　　→このP, Qのx座標は（A）式の実数解なので、「解と係数の関係」から
　　　　　α＋β＝2ｔ　　αβ＝5ｔ＾2/4－3/4

　　次に、線分PQ＝√{ （x座標どうしの差）^2＋（y座標どうしの差）^2 }　でしたね^^。
　　・・・つまり、根号内について集中しますよ。
　　　根号内＝(α－β)^2＋（f(α)－f（β))^2
　　　　　　　＝－ｔ＾4＋2ｔ＾2＋3　　
・・・と、ここまでは、あわてずに計算してみてください。分からなければ「補足」してください^^A。

　　そして、この結果を「ｇ（ｔ）」とします。つまり・・・
　　　　g(t)＝－ｔ＾4＋2ｔ＾2＋3

　　高次関数なので・・・微分して、増減表を作成します。（この時、tの範囲に気を付けてくださいね）
　　　最終的に、増減表から求める最大値は・・・
t＝±１の時、g（t）は最大値４をとります、・・・が、確かg（ｔ）は根号内のことでした^^。

以上より、求める最大値は、PQ=√4＝２（t＝±１）

補足

PQの根号内の（α-β）^2+（ｆ(α）-ｆ（β））^2の計算が上手くいきません（汗）
どうやるんでしょうか？

回答No.2

eco1900

(α－β)^2　と求めるためには、まず次のように考えます。

　→(α－β)^2＝α^2－２αβ＋β^2　ですよね^^。

これを、無理やり(α＋β)^2を使って表せないか？考えます。

→(α－β)^2＝(α^2＋２αβ＋β^2)－4αβ
　　　　　　　＝(α＋β)^2－4αβ

＊こんな方法は、誰かに教えてもらわないとできませんよね^^A。
　・・・自信なくさなくても、この変形は、誰でも学校の先生や、他の先人から教わる手段ですから^^。
　　　その代わり、今度からはあなたもこの手法を身に付けてください^^v。

また、L：ｙ=f(x)＝ｔｘ＋1－ｔ＾2　としたので・・・
　f(α)－f(β)＝（tα＋１－t^2）－（tβ＋１－t^2）
　　　　　　　　＝tα－tβ
　　　　　　　　＝t(α－β)　　・・・となりますね。

・・・ということで、

根号内＝(α－β)^2＋（f(α)－f（β))^2
　　　　　　＝(α＋β)^2－4αβ＋{t(α－β))^2
　　　　　　＝(α＋β)^2－4αβ＋t^2(α－β)^2

　→α＋βは解と係数の関係から、(α－β)^2は上の解説から、すでに出ていますね。
　→後は、この関係に書き直してからtだけの式が完成です^^v。

お礼

非常に詳しい解説ありがとうございます！答えがだせました！
とても参考になりました。また何か質問する機会がありましたらご教授お願いします。