数学がわかりません

質問

xy平面上に放物線 Ｐ；y=x^2 と直線l：y=x＋２がある。また、点（0.t）を通りlに垂直な直線mがあり、Pとｍは異なる二点Ａ，Ｂで交わっている。ただし、tは実数の定数とする。 ２点Ａ，Ｂがｌに対して対称となるとき、
(1)ｔの値を求めよ。
(2)線分ＡＢを直径とする円をＫ１とする。Ｋ１の方程式を求めよ
(3)Ｐとｌの交点のうち第１象限にあるものを 点Ｃとし、３点ＡＢＣを通る円をＫ２とする。Ｋ２の方程式を求めよ。
過程もお願いします

回答No.2

math_noonlight

(1)(2)はまあよしとしても(3)は折角K1を求めているのにいただけない。
計算量が多いだけ。
f(x,y)=0,g(x,y)=0の交点を通る曲線群(f(x,y)=0,g(x,y)=0と一致するものは除く）は
f(x,y)+kg(x,y)=0 (k≠0)
となることを利用する。
円K1:(x-A)^2+(y-B)^2-R^2=0
直線m:x+y-1=0
h(x,y)=(x-A)^2+(y-B)^2-R^2+k(x+y-1)=0 (k≠0)とし
点Cの座標をh(x,y)=0に代入してkの値を得る。
それをh(x,y)=0の方程式に入れれば簡単にK2の方程式が得られる。

回答No.1

mister_moonlight

どこも考える必要のない計算問題と、言いたいんだが、図形的に解くもっと簡単な方法があるはず。
ごちゃごちゃ言わずに、先ず解くだけ　解いてみよう。

2直線の交点をＭとすると、Ｍ(m-1、m+1)。但し、t/2＝mとする。
直線mと放物線が、異なる2点で交わるから、連立した2次方程式：x＾2＋x-t＝0　‥‥(1)　の判別式＞0　つまり、1+4t＞0　‥‥(2)
Ａ(α、α＾2)、Ｂ(β、β＾2)とすると、α≠β、(1)から　α＋β＝-1、αβ＝-t　‥‥(3)

ＡＭ＝ＡＢ　だから、ＡＭ＾2＝{α-(m-1)}＾2＋{α＾2-(m+1)}＾2.これは、ＡＢ＾2についても、同様に成立する。
計算すると、その結果は　α＾2＋β＾2＝3　つまり、t＝1　これは(2)を満たすから求める解。

Ｋ１の方程式は、(x-α)*(x-β)＋(y-α＾2)*(y-β＾2)＝0　で求められる。←　これは、教科書に載ってるはず。それに、α＋β＝-1、αβ＝-1　を代入すると、自動的に出る。

Ｋ２の方程式を　x＾2＋ax＋y＾2＋by＋c＝0とする。
Ａ(α、α＾2)、Ｂ(β、β＾2)、Ｃ(2、4)を通るから、
α＾2＋aα＋α＾4＋bα＾2＋c＝0　‥‥(4)、β＾2＋aβ＋β＾4＋bβ＾2＋c＝0　‥‥(5)、2a+4b+c＝8　‥‥(6).
後は、これらを連立すると、a、b、cの値は出る。(4)＋(5)、(4)-(5)を作って、α＋β＝-1、αβ＝-1を使う。

続きの計算は自分でやって。