数学の解答が分からない。。

質問

Q．a＞0 とする。放物線 y=x2乗-4ax＋a2乗と、原点Oを通る直線Lが第４象限において接していて、その接点をPをする。

(１)直線Lの方程式を求めよ。
(２)直線Lとy軸、およびこの放物線によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(３)点Pを通り直線Lと直交する直線がy軸と交わる点をQとする。三角形OPQの面積が(２)で求めたSの４倍であるとき、aの値を求めよ。

という問題だったのですが、どれだけ考えても答えに辿り着きませんでした。
どうしてその答えになるのかも、添えていただけるとありがたいです。

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

＃３さんへ
　ご指摘、ごもっともです。

　ついでに補足を。
（１）で、ｂの値は２つ出てきますが、片方は問題で与えられている条件を使えば除外できます。どうなるかは図を書いて考えて下さい。元の二次関数のグラフを書く時の注意は
　・ｘ＾２の計数が正
　・ａ＞０
　・原点を通る直線と第四象限で接する
です。

回答No.5

mister_moonlight

こんな基本的問題に、もたもたする奴を見るとイライラするね。。。。ｗ　しかも、何でもかんでも判別式では能が無い。

直線Lをy＝mxとし、接点を（α、mα）とすると、x＾2-4ax＋a＾2-mx＝（x－α）＾2。
そこで右辺を展開して係数を比較すると、4a+m＝2α、a＾2＝α＾2.
α＞0、a＞0より、α＝a、m＝-2a。
よって、直線Lはy＝-2ax。

点Pを通り直線Lと直交する直線はy＝（1/2a）*（x-a）-2a＾2.

以下は単なる計算問題。三角形OPQの面積も（1/2）*（底辺）*（高さ）で求められる。

回答No.3

Tacosan

挙げ足とりになっちゃいますが
「これが重解を持つ、つまりｙ＝ｂｘとｙ＝Ｘ＾２－４ａｘ＋ａ＾２が一点で接することから解けばいい」
というのは逆ではないかと＞#2.
「y = bx (b < 0) と y = x^2 - 4ax + a^2 が一点で接する, つまり方程式 bx = x^2 - 4ax + a^2 が重解をもつ」
とすべきでしょう. これは「2次方程式が重解をもつ条件」からわりと単純に解けます.

回答No.2

gohtraw

済みません。訂正。
（１）は接線をｙ＝ｂｘとおいてｘ＾２－４ａｘ＋ａ＾２＝ｂｘとし、
これが重解を持つ、つまりｙ＝ｂｘとｙ＝Ｘ＾２－４ａｘ＋ａ＾２が一点で接することから解けばいいです。

回答No.1

gohtraw

題意のとおりに式を立てれば解ける素直な問題だと思います。以下考え方だけ。
（１）接点におけるグラフの傾きと接線の傾きは同じですね。傾きは微分すれば判ります。接線に関する条件として原点を通るので・・・。
（２）ｆ（ｘ）から接線の式を引いた関数を考え、積分する。範囲は図を書いて考えて下さい。
（３）直交する直線の傾き同士をかけるとー１ですね、これで傾きが判って点Ｐを通るので・・・。点Ｑの座標が判れば△ＯＰＱの面積は（ＯＱの長さ）＊（接点のｘ座標の絶対値）／２ですね。これをＳの４倍とおいて・・・。