数学の質問です

質問

最後の（３）が解けなくて・・・教えてください。

　ｘｙ平面上に、放物線Ｃ：ｙ＝ax^2-bx+6と直線ｌ：ｙ＝２ｘ－３がある。Ｃ上の点Ａ（３．３）におけるＣの接線がｌに一致している。
　Ｐ（０．ｋ）（－３＜ｋ＜６）を通りｌに平行な直線とＣの異なる２つの交点Ｑ．Ｒのｘ座標を、それぞれα、β（α＜β）とする。

　（１）a.bの値をそれぞれ求めよ。
　（２）ｋをαを用いて表せ。また、ｙ軸とＣおよび線分ＰＱで囲まれる部分の面積Ｓ１をαを用いて表せ。
　（３）Ｃと線分ＱＲで囲まれる部分の面積をＳ２とする。（２）のＳ１に対してＳ１：Ｓ２＝１：２が成り立つようなｋの値を求めよ。

　私は（１）a=1,b=4　　　（２）ｋ＝α＾２－６α＋６、　　Ｓ１＝－２／３α＾３＋３α＾２
となりました。

　（３）はＳ２＝－２／３α＾３＋（β＋３）α＾２－６βα－１／３β＾３＋３β＾２
とだして、
解と係数の関係からα＋β＝６、αβ＝－α＾２＋６αをだし代入
Ｓ２＝－２α＾３＋２４α＾２－１０８α＋３６
Ｓ１：Ｓ２＝１：２から２Ｓ１＝Ｓ２なので・・・・・・と出そうとしていました。

ここから先が解けず困っています。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
C:y=ax^2-bx+6
y'=2ax-b
x=3における接線は
y=(6a-b)(x-3)+3
これが
l:y=2x-3
に一致することから
6a-b=2,-6+3=-3
∴b=6a-2　...(A)
またCが点(3,3)を通ることから
3=9a-3b+6
∴b=3a+1 ...(B)
(A),(B)のa,bについての連立方程式を解いて
a=1,b=4 ←（答え）

>(1) a=1,b=4
合ってます。

(2)
C:y=x^2-4x+6
y=2x+k(-3<k<6)
x^2-6x+6-k=0 ...(C)
x=αはこの解であるから
α^2-6α+6-k=0
∴k=α^2-6α+6 ...(D) ←（答え）

S1=∫[0,α](x^2-4x+6-(2x+k)dx,k=α^2-6α+6
=[(1/3)x^3-3x^2+(6-k)x][0,α]
=(1/3)α^3-3α^2+(6-k)α
これにkを代入すると
=-(2/3)α^3+3α^2 ←（答え）

>(2)k=α^2-6α+6、S1=-(2/3)α^3+3α^2
で合っています。

(3)
S2=∫[α,β] (2x+k-(x^2-4x+6))dx
=[-(1/3)x^3+3x^2+(k-6)x][α,β]
=(1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β)
S1:S2=1:2より　2S1-S2=0
2(-(2/3)α+3)α^2-((1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β))=0 ...(E)

α,βは2次方程式（C）の解であるから解と係数の関係から
α+β=6,αβ=6-k(α<β) ...(F)
(D),(E),(F)を解くと
　β^3-α^3=(β-α)((α+β)^2-αβ)=(β-α)(k+30)
　β^2-α^2=(β-α)(α+β)=6(β-α) より
　k=0,α=3-√3,β=3+√3
(答え) k=0

お礼

丁寧にありがとうございます^^（１）（２）まで解いてくださりありがとうございました。

回答No.3

fukuroumine

αをa,βをbと書きます．

S^2 =-2/3 a^3 +(b+3)a^2 -6ab -1/3 b^3 +3b^2
に
b=6-a
を代入すると，
S^2 =-2/3 a^3 +(6-a+3)a^2 -6a(6-a) -1/3 (6-a)^3 +3(6-a)^2
=-2/3 a^3 +9a^2 -a^3 -36a +6a^2 -72 +36a -6a^2 +1/3 a^3 +108-36a +3a^2
=-2/3 a^3 -a^3 +1/3 a^3 +9a^2 +6a^2 -6a^2 +3a^2 -36a +36a -36a -72 +108
=-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36
となります．(ここが，計算違いです．)

S1 =-2/3a^3 +3a^2
ですから，
2S1 =S2
により，
-4/3a^3 +6a^2 =-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36
よって，
6a^2 -36a +36 =0
a^2 -6a +6 =0
よって，
k=a^2 -6a +6
　=0

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

spring135

>ｙ軸とＣおよび線分ＰＱで囲まれる部分の面積Ｓ１をαを用いて表せ。

これだけでは閉じた領域にならない。

お礼

回答ありがとうございました。解決しました。