積分の面積比

質問

曲線y=x^3-2x^2+xと直線y=mxがOを原点とするxy平面上で3点O,A,Bで交わっている。
A,Bのx座標をα、β(0<α<β)とする。
Cと線分OAの囲む部分の面積をS(1),Cと線分ABの囲む部分の面積をS(2)とする時、S(1):S(2)=1:2
となるmの値を求めよ。

学校の課題なのですが解法がうまく導けません。よろしくお願いします。

回答No.4

noname#227255

ANo.1の回答者です。
単純なミスがありましたので、次の通り訂正致します。

題意から、x^3-2x^2+x=mxとおくと、これを変形してx(x-α)(x-β)=0となるので、展開して係数を比較すると、α+β=2、αβ=1-m
S(1)
=∫[0→α]{x^3-2x^2+(1-m)x}dx
=α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2
S(2)
=∫[α→β]{-x^3+2x^2-(1-m)x}dx
=-β^4/4+2β^3/3-(1-m)β^2/2+α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2
2S(1)=S(2)であるから、
α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2+β^4/4-2β^3/3+(1-m)β^2/2=0
(α^4+β^4)/4-2(α^3+β^3)/3+(1-m)(α^2+β^2)/2=0－(a)
α^4+β^4
=(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-2(αβ)^2
={2^2-2(1-m)}^2-2(1-m)^2
α^3+β^3
=(α+β)(α^2-αβ+β^2)
=(α+β){(α+β)^2-3αβ}
=2{2^2-3(1-m)}
α^2+β^2
=(α+β)^2-2αβ
=2^2-2(1-m)
1-m=Mとおいて式(a)に戻ると、
{(4-2M)^2-2M^2}/4-2*2(4-3M)/3+M(4-2M)/2=0
これから、3M^2-12M+8=0
曲線y=x^3-2x^2+x＝x(x-1)^2であるから、直線y=mxがOを原点とするxy平面上でこの曲線と3点O、A、Bで交わるためにはm＞0であり、1-m=Mからm=1-M＞0→M＜1
よって、解の公式からM=(6-2√3)/3→m=1-(6-2√3)/3=(-3+2√3)/3

回答No.3

staratras

No.2です。グラフを参考までに添付します。

回答No.2

staratras

略解です。

S(3)=∫［0→β］（mx-(x^3-2x^2+x)dx を考えると、S(3)=S(2)-S(1) だからS(2)=2S(1) よりS(3)=S(1)

S(3)＝-(β^4)/4+(2β^3)/3+((m-1)β^2)/2
S(1)=α^4/4-2α^3/3+((1-m)α^2)/2 だから

（α^4+β^4)/4-(2(α^3+β^3)/3+((1-m)(α^2+β^2)/2=0 …（１）

x^3-2x^2+x=mx より　x(x^2-2x+1-m)=0
α、βは第２項=０とした２次方程式の２つの解だから
α+β=2,αβ=1-m
α^2+β^2=(α＋β)^2-2αβ＝2+2m
α^3+β^3=(α+β）（α^2-αβ+β^2)=2+6m
α^4+β^4=(α^2＋β^2)^2-2(αβ)^2=2m^2+12m+2
これらを（１）に代入すると

(1/2)m^2+3m+1/2-4(3m+1)/3+(1-m)(1+m)=0
(1/2)m^2+3m+1/2-4m-4/3+1-m^2=0
(-1/2)m^2-m+1/6=0
3m^2+6m-1=0
m=(-3±2√3)/3 グラフがx>0 で２交点を持つにはm>0 でなければならないからm=(-3+2√3)/3

回答No.1

noname#227255

題意から、x^3-2x^2+x=mxとおくと、これを変形してx(x-α)(x-β)=0となるので、展開して係数を比較すると、α+β=2、αβ=1-m
S(1)
=∫[0→α]{x^3-2x^2+(1-m)x}dx
=α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2
S(2)
=∫[α→β]{-x^3+2x^2-(1-m)x}dx
=-β^4/4+2β^3/3-(1-m)β^2/2+α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2
2S(1)=S(2)であるから、
α^4/4-2α^3/3+(1-m)α^2/2+β^4/4-2β^3/3+(1-m)β^2/2=0
(α^4+β^4)/4-2(α^3+β^3)/3+(1-m)(α^2+β^2)/2=0－(a)
α^4+β^4
=(α^2+β^2)^2-2(αβ)^2
={(α+β)^2-2αβ}^2-2(αβ)^2
={2^2-2(1-m)}^2-2(1-m)^2
α^3+β^3
=(α+β)(α^2-αβ+β^2)
=(α+β){(α+β)^2-3αβ}
=2{2^2-3(1-m)}
α^2+β^2
=(α+β)^2-2αβ
=2^2-2(1-m)
1-m=Mとおいて式(a)に戻ると、
{(4-2M)^2-2M^2}/4-2(4-3M)/3+M(4-2M)/2=0
これから、M^2=8/3
曲線y=x^3-2x^2+x＝x(x-1)^2であるから、直線y=mxがOを原点とするxy平面上でこの曲線と3点O、A、Bで交わるためにはm＞0であり、1-m=Mからm=1-M＞0
よって、M=-√8/√3=-2√6/3→m=1-(-2√6/3)=(3+2√6)/3