面積

質問

(4) 閉領域 x^2/a^2 + y^2+b^2 ≤ 1(a,b > 0) の面積
(5) 曲線 xy =1と直線 x + y =5とで囲まれる閉領域の面積
(6) 2 曲線 y =4x－x^2 , y= x^2/3 とで囲まれる閉領域の面積

どう解きますか。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

問題を書き写し間違っていませんか。
x^2/a^2 + y^2+b^2 ≤ 1
ではなくて
x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤ 1……(Ａ)
ではないですか。これなら中心が原点にある楕円の周および内部できれいな問題なんですが……。ほかの問題のレベルから推測すると，(Ａ)ではないかと思います。それで(Ａ)で解きましょう。
そうすると，(4)(5)は高校の数学III（三角関数の積分と置換積分，対数関数の積分），(6)は数学II（２次関数の積分）で学習する内容です。

(4)について x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤ 1
まず楕円の方程式を変形してゆきます
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
y^2=(b^2/a^2)(a^2-x^2)
y=±(b/a)√(a^2-x^2)
楕円形の対称性から，第１象限内の面積を求めそれを４倍すればよいので，第１象限内で考えます。
つまりx>0,y>0
y=(b/a)√(a^2-x^2)　　(0≦x≦a)

求める面積Sは
S=4∫[0→a](b/a)√(a^2-x^2)dx
=(4b/a)∫[0→a]√(a^2-x^2)dx
ここでx=asinθとおくと　　　　　　（以下は「置換積分」の計算です）
dx/dθ=acosθ
x 0→a
θ 0→π/2
であるから
S=(4b/a)∫[0→π/2]√(a^2-(asinθ)^2)acosθdθ
=(4b/a)∫[0→π/2]√(acosθ)^2)acosθdθ
=(4b/a)∫[0→π/2](acosθ)^2dθ
=4ab∫[0→π/2](acosθ)^2dθ
=4ab∫[0→π/2](1+cosθ)/2dθ　　　　（三角関数の「半角の公式」）
　　　　　　　　　　π/2
=4ab[(θ+(1/2)sin2θ)/2]
　　　　　　　　　　0
=4ab*π/4
=πab……答

(5)について
曲線y=1/xと直線y=-x+5の交点のx座標を求めると
x=c
したがって面積は
∫[(5-√21)/2→(5+√21)/2](-x+5-1/x)dx
　　　　　　　　(5+√21)/2
=[-x^2/2+5x-logx]　　　　　　　　　　　（x>0だからlog|x|=logxでよい）
　　　　　　　　(5-√21)/2

～中略～
=5√21/2-log(23+5√21)/2　　（計算ミスがなければ……）

(6)について
まえの２問に比べれば基本的で
交点のｘ座標が0，3はすぐに求められ，面積は
∫[0→3](4x-x^2-(1/3)x^2)dx
=∫[0→3](4x-(4/3)x^2)dx
からは一本道ですので，以下は省きます。

お礼

丁寧に回答していただき、ありがとうございます！！よく分かりました！

回答No.1

asuncion

＞どう解きますか。

まずはグラフの概形を書いて、直線や曲線の交点から
積分区間を求める。