面積/平面ベクトルの内積

質問

曲線または直線で囲まれた面積を求めよ。

(1)y=x^2-5x+9 , y=3x+2

(2)ｙ=ｘ＾2-ｘ+1　、ｙ=2ｘ＾2-3ｘ+1

つぎのa→,b→のなす角θを求めよ

(3)a→(-1,1)、b→(2,0)

この3題をやったのですが、よくわかりません。
この解法と答えを教えてください。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(1)交点を求めます。
　x^2-5x+9=3x+2
x^2-8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
x=1,7
面積を積分で求めます。（上の関数）-（下の関数）の積分で面積。（教科書を確認してください）
　∫[1,7]{(3x+2)-(x^2-5x+9)}dx=[-(1/3)x^3+4x^2-7x][1,7]
=-(1/3)*7^3-4*7^2-7*7-(-1/3+4-7)=36

　※[1,7]とは下文字が1で上文字が7という意味です。

(2)交点を求めます。
　x^2-x+1=2x^2-3x+1
x^2-2x=0
x(x-2)=0
x=0,2
面積を求めます。
　（[0,2]区間でどちらの関数が上にあるか調べるため、例えばx=1を代入してyの値を比較すると前者の　関数のほうがyの値が大きいことがわかる。）
　∫[0,2]{(x^2-x+1)-(2x^2-3x+1)}dx=[-(1/3)x^3+x^2][0,2]=-(1/3)*2^3+2^2=4/3

(3)以下、ベクトル記号は省略します。公式は教科書を確認してください。
　内積の公式a・b=|a||b|cosθ
　内積の成分表示a・b=x1*x2+y1*y2
　ベクトルの大きさ|a|=√(x1^2+y1^2)

　これらを使います。
　(-1)*2+1*0=√2*2cosθ
　　cosθ=-1/√2
　θ=135°　よってなす角は135°

計算は自分で確認してください。
何かあったら補足してください。

お礼

解けました。

ありがとうございます。