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面積の最大・最小について

曲線y=|x^2-2x|と直線y=ax(0<a<2)によって囲まれる図形の面積の和をS(a)とする。 この条件から曲線と直線との共有点のx座標の求め方を教えてください。 できれば、この図形の面積とその最小値を教えてください。 早めの回答を希望します。

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

y=|x^2-2x| ...(1) y=ax ...(2) (1),(2)のグラフは添付図のようになります。 (1)のグラフの描き方はy=x^2-2x=x(x-2)のグラフで y<0つまり0<x<2の範囲のグラフをy>0の方にx軸対称に折り返してやればいいです。書き換えれば  x≦0,x≧2では y=x(x-2) ...(3)  0<x<2では y=-x(x-2) ...(4) となります。 >曲線と直線との共有点のx座標の求め方を教えてください。 0<a<2では(1)と(2)の交点は (4)のx=+0におけるグラフの傾きが2であることを考えれば  原点(0,0)と  (4)と(2)の交点Aと  (3)と(2)の交点B の3個となることが判ります。 交点Aは「y=-x(x-2)とy=axの交点」だから   -x^2+2x=ax   x≠0の交点なのでxで割って -x+2=a   ∴x=2-a,y=a(2-a) ⇒ A(2-a,a(2-a)) 交点Bは「y=x(x-2)とy=axの交点」だから   x^2-2x=ax   x≠0の交点なのでxで割って x-2=a   ∴x=a+2,y=a(a+2) ⇒ B(a+2,a(a+2)) >この図形の面積とその最小値を教えてください。 (1)と(2)で囲まれた部分の面積S(a)は図の3つの部分の面積S1,S2,S3に分けてそれぞれの面積の和をとればよい。 S1は図の青色で塗り潰した部分の面積で  S1=∫{0,2-a] (2x-x^2-ax)dx=[-x^3/3-(2-a)x^2/2]{0,2-a]   =-(1/6)(a^3 -6a^2 +12a-8)=(1/6)(2-a)^3 S2は図の赤色で塗り潰した部分の面積で  S2=∫{2-a,2] (ax-(2x-x^2))dx=[x^3/3+(a-2)x^2/2]{2-a,2]   =(1/6)(6a^2 -a^3)=-(1/6)(a-6)a^2 S3は図の黄色で塗り潰した部分の面積で  S3=∫{2,a+2] (ax-(x^2-2x))dx=[-x^3/3+(a+2)x^2/2]{2,a+2]   =(1/6)(a^3 +6a^2 +16) S(a)=S1+S2+S3=-(1/6)a^3+3a^2-2a+4 S'(a)=-(a^2-12a+4)/2 S'(a)=0 ⇒ a=6±4√2 0<a<6-4√2で S'(a)<0 S(a)は単調減少 6-4√2<a<2で S'(a)>0 S(a)は単調増加 a=6-4√2(=0.3431…)で極小値 64(3-2√2)/3をとる。 0<a<2でSaの増減表を書く。 増減表より a=6-4√2(=0.3431…)の時の極小値 64(3-2√2)/3 が S(a)の最小値であることが判る。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

y=|xx-2x| と y=ax のグラフを描いて、 状況を理解した上で、 ∫[x=0~2]{(xx-2x)-ax}dx=0 となる a を計算する。やってみ。(やったら、補足へ)

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質問者からの補足

a=-4/3となりましたが合っていますか?

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