面積の最小値、最大値

質問

座標平面に2点A(3,0),B(0,4)をとる。点Ｐが円周x^2+y^2=1上を動くとき、
三角形ABPの面積の最大値と最小値を求めなさい。

直線ABを底面として、直線ABと平行で円に接する接点の座標を二つ求め
各点から、垂直に伸ばした長さを高さとして最大値、最小値としてよいでしょうか？？
接点を求めるとき、ＡＢの傾き＝円の導関数とし、そこから座標を
求めることができると思うのですが、なぜか求めることができません・・
途中計算を書いてみると
直線AB y=-4/3x+4
y'=±x・(1-x^2)^-1/2となり
-4/3=±x・(1-x^2)^-1/2
ここからのxの求め方がよくわかりません。
解き方があっていましたら、xの求め方教えてくださいm(__)m

回答No.10

noname#122968

こんにちは！

回答はできてるようですが…まだ締め切られておられないので回答してよろしいですか？ただの自己満です！

三角形の面積をベクトルの長さと内積で表す公式はご存知ですか？
(参考)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm

これの例３を使います。
三角形PBC＝(1/2)×√(｜PA｜^2×｜PB｜^2-(PA・PB)^2)
となります。P(s,t)として上の式を計算すると…(少し計算が大変かも)

三角形PBC＝(1/2)×(12-3t-4s)

となります。ここで、点Pは単位円周上なので、s=cosθ,t=sinθとおくと、3t+4s=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+α) (三角関数の合成)
となり上の式に代入すれば答えです。

参考になりましたら幸いです。失礼しました。

回答No.9

info22

>-4/3=-x(1-x^2)^(-1/2)
>4(1-x^2)^(-1/2)=3x
>上式から下式に移項する際ですが
>4(1-x^2)^(1/2)=3x
>として計算すればよいでしょか？

すみません。右辺を左辺に貼り付けて書いたものですから
指数部の符号「-」を消すのを忘れました。
おおせの通りです。
その後の計算は合っています。

後半の部分も「-」を消し忘れました。
>　-4/3=x(1-x^2)^(-1/2)
>4(1-x^2)^(-1/2)=-3x
4(1-x^2)^(1/2)=-3x

その後の計算は正しいです。

回答No.8

info22

あなたの質問に沿った回答がひとつもありませんので質問が閉じられないのかと思い、回答します。

もちろん、他の方の回答は簡単で模範的な解答であるかと思います。
しかし、算数（数学）は確実に解に到るまでの考えかたがもっとも大切です。
自分で考えた方法で最後まで解くことが自信となり実力となります。
そういった意味でまずあなたの方法で間違いでなければ最後まで解く。
それから、他の方法では解けないか？もっと簡単に解けないか？と進む
ことで、数学の力がついていくと考えます。
質問の趣旨に沿って回答します。

＞x^2+y^2=1
…(1)
＞直線AB y=-4/3x+4
…(2)

＞y'=±x・(1-x^2)^-1/2となり
±のまま扱うと間違いのもとですから、別々に扱った方が良いですね。

(1)から
y^=1-x^2
y=±(1-x^2)^(1/2)

■＋は円の上半分の場合
この場合は接点の(x,y)座標は第一象限にありますので
交点の座標はx>0,y>0…(3)
　y=(1-x^2)^(1/2)…(4)
　y'=-x(1-x^2)^(-1/2)…(5)
　-4/3=-x(1-x^2)^(-1/2)
4(1-x^2)^(-1/2)=3x
16(1-x^2)=9x^2
25x^2=16
x^2=16/25=(4/5)^2
(3)からx=4/5,　(4)からy=3/5
接点は(4/5, 3/5)

■－は円の上半分の場合
この場合は接点の(x,y)座標は第3象限にありますので
交点の座標はx<0,y<0…(3')
　y=-(1-x^2)^(1/2)…(4')
　y'=+x(1-x^2)^(-1/2)…(5')
　-4/3=x(1-x^2)^(-1/2)
4(1-x^2)^(-1/2)=-3x
16(1-x^2)=9x^2
25x^2=16
x^2=16/25=(4/5)^2
(3')からx=-4/5,　(4)からy=-3/5
接点は(-4/5, -3/5)

この先は質問にありませんが解けますね。
分からない場合は質問を補足して下さい。

お礼

返信ありがとうございます。
-4/3=-x(1-x^2)^(-1/2)
4(1-x^2)^(-1/2)=3x
上式から下式に移項する際ですが
4(1-x^2)^(1/2)=3x
として計算すればよいでしょか？

回答No.7

kkkk2222

貴殿の解法の主旨に沿って解くならば、
直線ＡＢの方程式
４ｘ＋３ｙ＝１２
ＡＢの垂線の内、原点（０、０）
を通る直線の方程式ｙ＝（３／４）ｘ
を使用した方が速いと思われます。

具体的には、
（０、０）と４ｘ＋３ｙ＝１２の距離は１２／５

高さのＭＩＮは（１２／５）－１＝７／５
線分ＡＢの長さは５
面積ＳのＭＩＮは（１／２）（７／５）＊５＝７／２
それを与える（ｘ、ｙ）は
（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＝１
ｙ＝（３／４）ｘ
を連立させてた解の片方、
（ｘ、ｙ）＝（４／５、３／５）

　同様に
高さのＭＡＸは（１２／５）＋１＝１７／５
面積ＳのＭＡＸは（１／２）（１７／５）＊５＝７／２
（ｘ、ｙ）＝（ー４／５、ー３／５）
ーーー
＞＞y'=±x・(1-x^2)^-1/2となり
-4/3=±x・(1-x^2)^-1/2
に関しましては、これでも出来るはずですが、
検証はしておりません。
陰関数微分も考えられますが、
多分同じ結果になる様に思えます。

お礼

返信ありがとうございます。
確かに、こちらのほうが簡単に解けますね。。。
とりあえず、自分の解き方でといてみてからほかの解き方にも挑戦してみます。

回答No.6

endlessriver

直線ＡＢは円の外側にあります。すると象限分けして
三角形の面積Sを求めるとすべての場合
S=3*4/2-4x/2-3y/2=6-2x-3y/2
と書けます（いくつかの三角形に分解して足したり引いたり）。
あとyの正負に分けて微分して条件分けすれば
解けそうな気がします。

お礼

返信ありがとうございます。
象限わけするんですね。
参考にさせていただきます。

回答No.5

vungtau

いくつも解き方はあると思いますが、
僕が簡単だと思う方法で回答してみます。

三角形の面積は底辺かける高さなので。。。

まず円の中心と直線の距離を求める。
この距離から半径分を引いた距離が面積が最小となるときの高さ。
この距離に半径分を足したものが面積が最大となるときの高さ。

数学は考え方こそ一番大事と思っているので、
こんなのはいかがでしょうか。

お礼

返信ありがとうございます。確かに、自分が書いたものよりすぐに
できそうです。アドバイスありがとうございます。

回答No.4

redowl

直線ABの傾きを持ち、かつ円に接する　２直線の方程式
を求めたなら、　y切片がわかり、・・・・

△ABP は等積変形すると、　y軸上に底辺を持つ三角形が見つかる訳で、・・．
その時の三角形の高さは、計算せずとも、・・・

もう解けた．．．．
面白い問題でした。

お礼

返信ありがとうございます。
いろんな解法があるんですね。。

回答No.3

F_P_E

はじめまして。

＞直線ABを底面として、直線ABと平行で円に接する接点
＞の座標を二つ求め各点から、垂直に伸ばした長さを高
＞さとして最大値、最小値としてよいでしょうか？？

とありますが、これはオッケーですね＾＾

そして

＞直線ABを底面として、直線ABと平行で円に接する接点
＞の座標を二つ求め

とありますが、この２つの座標は、線分ABに直交し、かつ原点を通る直線と円x^2+y^2=1の交点となりますよね。恐らくこれが一番簡単な求め方です、２つの座標を求めるための。

他の考えられる解法としては、点と直線の距離の公式を用いる解法が挙げられますが、絶対値を含んだ連立方程式になるので少し面倒でしょうが、できないことはないです。

最後にあなたの解法に関してですが、両辺を２乗するなりして、xについて解けばよいでしょう。あと少しで知りたい２つの座標のx座標がわかるところまで、あなたは来ていると僕は考えますよ。

様々な解法を考えることは良いことです。

がんばってください＾＾

お礼

返信ありがとうございます。
なるほど・・・　そのようにすれば簡単に座標がもとめられますね。

回答No.2

yuu111

こんばんは

傾きが-4/3までは同様として、そのあと
y=-4/3x+bとして、4x+3y-3b=0と変形。
これが中心(0,0)と距離が１であればいいので、点と直線の距離の公式を使う・・・
のが普通かと思います。

数IIIの微分の問題だったらごめんなさい

お礼

返信ありがとうございます。
その解法でとこうとおもっていました。
ありがとうございます。

回答No.1

Quattro99

> 垂直に伸ばした長さを高さとして最大値、最小値としてよいでしょうか？
よいと思います。
どう求めるかですが、相似を用いて幾何的に解いてはダメなんでしょうか？

お礼

返信ありがとうございます。
解き方はなんでもよいです・・
自分は、書いたとおりのやり方しかおもいつきませんでしたので。。