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2次関数の最大・最小
2つの円 C1、C2 の円周の長さの和が2πのとき C1、C2の面積の和の最小値を求めよ。 これが問題です。 2つの円の長さが2πってことは、 C1の円周をxで置き換えて、C2の円周を2π-xとするわけですよね? でも面積を出すためだったら、r・r・πですよね? 円周を出す式から2つの円の半径の式を出したとしても 結局、私には答えは愚か頂点の座標すら出せません(;´Д`A ``` この2次関数のyの式すら導きだせません。 C1の円周をxと置き換えることすら間違っているのかもしれないですけど…。 どなたか教えていただけませんか? お願いします!!!!ペコリ(o_ _)o))
- rikachi
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円周の和が2πなので二つの円の半径の和は1。 片方の半径をxとするともう片方の半径は1-x。 より二つの円の面積の和は(xの二乗+1-xの二乗)π。 これでxの二次方程式になるでしょ?xの値の範囲は0から2やから最小値はxが2分の1のとき2分の1π。 xの範囲は良く考えるといらないですね。yは無理に出そうとしなくても二次方程式を出してから考えてみたらよいのでは?
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- pyon1956
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最大最小は、2次関数の時は特に微分を用いなくても平方完成、あるいは「頂点の座標を求める公式」で簡単に出せます。というわけであなたが数Iで解くのであれば、#1さんのやりかたを奨めます(数IIが終わっているなら#2さんのやりかたも参考に。まあ少々この問題には道具立てが大きすぎるかもしれませんが・・・・) ただし、#1さんのxの範囲は 0<x<1でないといけません。2つの円とことわっているから、どちらの半径も正でないとだめ、ということです。 平方完成のやりかたはどの教科書にも載っていますね。
お礼
確かに半径ですから0<x<1になりますね~。 どうもありがとうございましたm(_ _"m)
- right_wing
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円周を求める式は直径*πですね。 今回、C1の円周をxとおいたわけですからC1の半径は x/2π です。 ですから、C1の円の面積は(x/2π)^2*πになります。 次にC2の円周は2π-xですから、C2の半径は (2π-x)/2π です。 ですから、C2の円の面積は((2π-x)/2π)^2*πになります。 ここで求めたいのはC1とC2の面積の和ですので、面積をyとして、 y=(x/2π)^2*π+((2π-x)/2π)^2*πとなります。 後は、微分して極値を求めて、グラフを書いてください。 そうすれば、xの取りうる範囲内の最小値はすぐ分かります。
お礼
数IIやってないんですよ(;´Д`A ``` 途中までは参考にさせていただきます。 ありがとうございました!
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