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2次関数 最大値、最小値

aは定数とする。関数 y = x^2 - 2ax + a ( 0 ≦ x ≦ 2 ) の最大値、最小値を次の場合において求めよう。 問題は1番から5番まであるのですが一番でもう躓いてしまってます。 1番は  a ≦ 0  の時。 私は y = x^2 - 2ax + a ⇨  y = (x-a)^2 + a - a^2  となり頂点は (a, a-a^2)、y切片=a ここでまず疑問に感じたのは、この式の y切片、頂点x 座標とも同じである(a)という事です。  しかし回答のグラフでは y切片と頂点x座標は異なる値になっています。どちらもaであるはずなのに何故なのですか? ご教授頂けたら助かります

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4

>私の考えでは 頂点 (a, a-a^2) となった時点で既におかしい、何故なら元の式から y切片=(0,a)だから x座標0からaの間のグラフは横ばいになってしまう。 頂点の座標(a, a-a^2)、y軸との交点の座標(0, a)ですから、比較するのはそれぞれのy座標で、a-a^2とaです。a-a^2からaへ上昇する、決して横ばいにはなっていませんよ。たとえば、a = -1だったしてみましょう。a-a^2 = -2からa=-1へと上昇していきます!あなたは頂点のx座標と切片のy座標を比べているのではありませんか?

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質問者からのお礼

おっしゃる通りです、よく分かりました。 有難うございました!

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

確認ですが、定数aは、a ≦0と与えられているんですよね!! この場合は回答1で書いたように、与えられた2次関数のグラフの頂点(a, a-a^2)は第3象限にあり、したがって、区間0≦x≦2は頂点の右側に来るので、与えられた2次関数はこの区間では増加関数となります。

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質問者からのお礼

回答有難うございます。教えてくださったことよく理解できました。 ただ一つ分からないのは元の式は y = x^2 - 2ax + a とあるのだから aの値が変わってもy切片は常にaではないのですか?   私の考えでは 頂点 (a, a-a^2) となった時点で既におかしい、何故なら元の式から y切片=(0,a)だから x座標0からaの間のグラフは横ばいになってしまう。 解答のグラフを見ても私の考え方が間違ってるのはよくわかります。 今まで元の式の、この場合で言えば y = x^2 - 2ax + a の式の切片は a だとやってきたので理解できずにいます。 どこを勘違いしているのか指摘して頂ければ助かります。

質問者からの補足

すみません大変な勘違いをしている様です。ただ矢張り解答グラフを見ても原点からの頂点のaの値とy切片のaの値が同じには見えません。勉強し直します。。

  • 回答No.2
  • info33
  • ベストアンサー率50% (260/513)

y = x^2 - 2ax + a=(x-a)^2 +a-a^2( 0 ≦ x ≦ 2 ) a ≦ 0 の時 ymin=y(x=0)=a ymax=y(x=2)=4-3a 0<a<1 の時 ymin=y(x=a)=0 ymax=y(x=2)=4-3a a=1 の時 ymin=y(x=1)=0 ymax=y(x=0, 2)=1 1<a≦2 の時 ymin=y(x=a)=a-a^2 ymax=y(x=0)=a 2<a の時 ymin=y(x=2)=a-a^2 ymax=y(x=0)=a

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質問者からのお礼

詳しく計算式を書いてくださり有難うございます、よく分かります。 ただ一つ分からないのは元の式は y = x^2 - 2ax + a とあるのだから aの値が変わってもy切片は常にaではないのですか?   私の考えでは 頂点 (a, a-a^2) となった時点で既におかしい、何故なら元の式から y切片=(0,a)だから x座標0からaの間のグラフは横ばいになってしまう。 解答のグラフを見ても私の考え方が間違ってるのはよくわかります。 今まで元の式の、この場合で言えば y = x^2 - 2ax + a の式の切片は a だとやってきたので理解できずにいます。 どこを勘違いしているのか指摘して頂ければ助かります。

質問者からの補足

すみません大変な勘違いをしている様です。ただ矢張り解答グラフを見ても原点からの頂点のaの値とy切片のaの値が同じには見えません。勉強し直します。。

  • 回答No.1

あなたの計算で合っているはずですが。。。この2次関数のグラフの頂点は第3象限にあり、y軸とは(0,a)で交わる。0≦x≦2の区間ではこの2次関数は増加しているので、最小値はx=0のときy=aの値をとり、最大値はx=2のときy=4-3aの値をとる。

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質問者からのお礼

回答有難うございます。教えてくださったことよく理解できました。 ただ一つ分からないのは元の式は y = x^2 - 2ax + a とあるのだから aの値が変わってもy切片は常にaではないのですか?   私の考えでは 頂点 (a, a-a^2) となった時点で既におかしい、何故なら元の式から y切片=(0,a)だから x座標0からaの間のグラフは横ばいになってしまう。 解答のグラフを見ても私の考え方が間違ってるのはよくわかります。 今まで元の式の、この場合で言えば y = x^2 - 2ax + a の式の切片は a だとやってきたので理解できずにいます。 どこを勘違いしているのか指摘して頂ければ助かります。

質問者からの補足

すみません大変な勘違いをしている様です。ただ矢張り解答グラフを見ても原点からの頂点のaの値とy切片のaの値が同じには見えません。勉強し直します。。

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