数学の面積の問題について

質問

曲線　X二乗ー２XY＋２Y二乗＝４　についてXのとりうる範囲はなんであるか。
そしてYの最大値はなんであるか。　Yが最小となるときのXの値はなんであるか。
また、この曲線で囲まれる部分の面積は何であるか。

上記の問題の解き方と解答を教えて下さい。　お願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

後半の面積を求める部分です。

X二乗ー２XY＋２Y二乗＝４　…(0)
このサイトで一般的な表記にして回答します。
X^2-2XY+2Y^2＝４ …(1)すなわち　2Y^2-2XY+X^2-4=0 を　Yについて解いて
Y=(X+√(8-X^2))/2 …(2)　またはY=(X-√(8-X^2))/2

(1)のグラフは、長軸が回転して斜めに右上がりになった楕円で、(2)はその上半分（図では赤)です。
したがって求める楕円の面積をSとすると、図の対称性から
Ｓ/2=∫〔-2√2から2√2までの積分〕(X+√(8-X^2))/2dX
=(0+半径2√2の半円の面積)/2=2π
したがってS=４π

念のために、回転させてx軸ｙ軸上に長軸・短軸が来るようにし、この長さを求めて検算します。
X = xcosθ - ysinθ
Y = xsinθ + ycosθ 　(0)式に代入して整理すると

x^2(cos^2θ-2sinθcosθ+2sin^2θ)-xy(2sinθcosθ-2(sin^2θ-cos^2θ)-4sinθcosθ)+y^2(sin^2θ-2sinθcosθ+2cos^2θ)=4
上式のxyの係数は　-2sinθcosθ+2(cos^2θ-sin^2θ)=-sin2θ+2cos2θ これを０とおくと　sin2θ=2cos2θ tan2θ=2
2tanθ/1-tan^θ=2 を　tanθ>0 に留意して解くと　tanθ=(√5-1)/2

このとき1+tan^θ=1/cos^2θ=(5-√5)/2 より、cos^2θ=(5+√5)/10,sin^2θ=(5-√5)/10 sinθcosθ=√5/5
これらを代入すると(0)式は〔(3-√5)/2〕x^2+〔(3+√5)/2〕y^2=4
これを変形すると　〔x^2/(√5+1)^2〕+〔y^2/(√5-1)^2〕=１…(4)
(4)式から　この楕円(図では緑)の長半径は√5+1、短半径は√5-1であるから　
求める楕円の面積　S=(√5+1)(√5-1)π=４π

回答No.5

gonzou1964

No.2です。

積分範囲を間違っていました。

(1/2)Ｓ=∫[-2→2](y+√(4-y^2))dy

が正しいですね。答は確かに４πでした。

θできちんと標準形に変換された方、すばらしいですね。

見習いたいと思います。

回答No.4

info22_

前半）
>X二乗ー２XY＋２Y二乗＝４
この式の書き方は見づらいので次のように書くようにしてください。
（べき乗は「^」(チルダ)の後に指数部を書きます。）

　x^2 -2xy+2y^2=4　...(1)

yの最大、最小を求めるには、xの実数条件を使います。
(1)をxの2次方程式とみなせば、xの実数条件は判別式D≧0から
　D/4=y^2-(2y^2-4)=4-y^2=(2-y)(2+y)≧0 ∴-2≦<y≦2
yの最大値は2で、このときのxは(1)から
　x^2-4x+4=(x-2)^2=0 ∴x=2
yの最小値は-2で、このときのxは(1)から
　x^2+4x+4=(x-2)^2=0 ∴x=-2

後半)
ANo1,ANo.2の「面積S＝2π+4」の方は間違い。

ANo3の「面積S＝4π」の方が合っている（正解）。

なので面積Sの答えはANo.3の方の「面積S＝4π」の
解答になるの私の計算は省略します。

回答No.2

gonzou1964

2y^2-2xy+(x^2-4)=0をyの2次式とみると

判別式から(4x^2)-8(x^2-4)≧0

x^2≦8

-2√2≦x≦2√2

f(x,y)=x^2-2xy;2y^2-4=0として

∂f/∂x=0より2x-2y=0→x=y・・・(1)

∂f/∂y≠0より-2x+4y≠0なので

与式に(1)を代入する

x^2-2x^2+2x^2-4=0

x^2=4

x=±2

(2,2)と(-2,-2)が極値の候補

△(a,b)=-{(∂^2)f/∂x^2}/(∂f/∂y)}＝-2/(-2a+4b)を計算する

(2,2)のとき△(2,2)=-1/2<0より極大、極大値は2

(-2,-2)のとき△(-2,-2)=1/2>0より極小、極小値は-2

次に、この楕円の面積をＳとする

回転角を求めて標準形にできると楽だが、めんどうなので

yについて-2から2まで積分する

与式から(x-y)^2=4-y^2

x-y=±√(4-y^2)

x=y±√(4-y^2)

したがって(1/2)Ｓ=∫[0→2]y+√(4-y^2)dx

y=2sin(t)とするとt：0→π/2,dy=2cos(t)dt

∫[0→π/2]{2sin(t)+2cos(t)}2cos(t)dt

=∫[0→π/2]{4sin(t)cos(t)+4cos^2(t)}dt

=∫[0→π/2]{2sin(2t)+2(1+cos(2t)}dt

=[-cos(2t)+2t+sin(2t)](t：0→π/2)

=(1+π)-(-1)

=π+2

したがってＳ=2π+4

回答No.1

noname2727

-2√2≦x≦２√２
-2≦y≦2
y＝ー２のときx＝ー２

面積は２+π

だと思います。