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積分を使って面積を求める問題です。

この問題が分かりません。 2つの曲線y^2=4x , x^2=4yで囲まれる部分の面積を求めなさい。 2つの曲線の交わる点を求めようとしたのですが、y^3=64となってしまい、求める事ができません。 解答を教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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noname#146456
noname#146456
回答No.2

xを消去したわけですね。それでもO.K.です。 y^3=64=4^3なのでy=4となります。 ところで2つの曲線の式をよく見てみるとxとyを入れ換えても 同じ式になることが分かります。 したがって2つの曲線はy=xについて対称性があることが分かります。 よって2曲線の式を連立してもよいのですが、この対称性を利用する と例えばy=x^2/4とy=xを連立してもよいことになりこちらの方が 計算が簡単になります。 すると x=x^2/4⇔x(x-4)=0⇔x=0,4 となるのでこれをy=xに代入することで2曲線の交点は(0,0)と(4,4) となります。 よって2曲線で囲まれる部分は下図の灰色の部分になります。 よって求める面積はy=xとy=x^2/4で囲まれる部分の面積を2倍した ものになることが分かります。 よって求める面積は 2∫[0,4](x-x^2/4)dx=2[x^2/2-x^3/12][0,4] =16/3 となります。

black_ry0chan
質問者

お礼

グラフは書けて、灰色のところを求めるところまでは分かったのですが、そのあとが分からず、助かりました! ありがとうございます! 迷ったのですが、こちらをベストアンサーとさせていただきます! ありがとうございました!

その他の回答 (2)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

>2つの曲線の交わる点を求めようとしたのですが、y^3=64となってしまい、求める事ができません。 交点を求める連立方程式の解き方  y^2=4x …(1)  x^2=4y …(2) (2)-(1)より  x^2-y^2=-4(x-y)  (x-y)(x+y)+4(x-y)=0 (x-y)(x+y+4)=0  x-y=0,x+y+4=0 x-y=0のとき y=x …(3) (3)を(2)に代入して   x^2=4x  x(x-4)=0  ∴x=0,x=4 (3)よりyを求めると交点は(x,y)=(0,0),(4,4)…(4) x+y+4=0の時 y=-x-4 …(5) (4)を(2)に代入して   x^2=-4(x+4)  x^2+4x+16=0  (x+2)^2+12=0 実数解なし  従ってこの場合は交点なし。 以上から交点の座標は(4)の(0,0),(4,4)の2つのみ。 2つの放物線(1)と(2)で囲まれた領域は描けますね。 囲まれた領域の面積は  S=∫[0,4] {2x^(1/2) -(x^2/4)}dx   =[(4/3)x^(3/2)-(1/12)x^3] [0,4] =(4/3)*8-(64/12) =16/3 で求められます。 領域がy=xについて対称であることに気が付けばその性質を使って #2さんのようにも求められますね。

black_ry0chan
質問者

お礼

x^2の式からy^2を引けば求められたんですね! ありがとうございます!

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

ん? なにをどうしたら y^3 = 64 なんて式が出てくるんですか?

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