数学の問題教えて下さい

質問

x>=0,y>=0で２分のx+1=2-3分のｙ＝ｚとする
（１）zの値の範囲を求めよ
(2) xy+Z^2の最大値と最小値を求めよ。またこのときのx,y,zの値を求めよ

回答No.1

kiha181-tubasa

問題の方程式が
（Ａ）x≧0, y≧0で，(x+1)/2=2-y/3=z
なのか
（Ｂ）x≧0, y≧0で，x/2+1=2-y/3=z
なのか文章からは読み取れないですのう……。

（Ａ）の場合
（１）について
x≧0だから(x+1)/2≧1/2，y≧0だから2-y/3≦2
∴1/2≦z≦2　……答
（２）について
(x+1)/2=2-y/3=zより，x=2z-1, y=-3z+6であるから
xy+z^2
=(2z-1)(-3z+6)+z^2
=-5z^2+15z-6
=-5(z-3/2)^2+21/4　（２次関数の標準形）
f(z)=-5(z-3/2)^2+21/4　とおく
（１）より1/2≦z≦2であるから，この範囲におけるf(z)のグラフを描く。
（グラフは略）
これから
z=3/2のとき最大値21/4，z=1/2のとき最小値1/4をとる。

（Ｂ）の場合
（１）について
x≧0だからx/2+1≧1，y≧0だから2-y/3≦2
∴1≦z≦2　……答
（２）について
x/2+1=2-y/3=zより，x=2z-2, y=-3z+6であるから
xy+z^2
=(2z-2)(-3z+6)+z^2
以下，同じように２次関数の問題ですので以下は省略します。