- ベストアンサー
高1の数学の問題なんですが・・・
x≧0, y≧0, z≧0で 3x+y-z=5, 4x+y-2z=3が同時に成り立つとき、 F=xy+yz+zx の最大値と最小値、そのときのx,y,zの値を求めよ という問題なんですが、どうしてもわかりません＞＜ 相加相乗の関係を用いるのだと思うのですが係数が邪魔でできません。 気になって夜も眠れないです。どうかお願いします。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- tonsaku
- ベストアンサー率35% (21/59)
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
3x+y-z=5, 4x+y-2z=3からそれぞれx,zを消去すると x = -(y-7)/2 z = -(y-11)/2 になりますね。 ここでyを0以上で好きに動かしていいとしてtと置くと、x,y,zはそれぞれ x = -(t-7)/2 y = t z = -(t-11)/2 と書けるね。 これをF=xy+yz+zxに代入すれば、Fがtについての1変数2次関数になるからt≧0の範囲で2次関数の最大最小をもとめればいいんじゃない？
お礼
ありがとうございました。 言われてみると あぁ～と思うのですが何時間やっても なかなかその考えに行きつきませんでした；； 自分でももう一度やってみます。ありがとうございました。
- tonsaku
- ベストアンサー率35% (21/59)
とりあえず方針だけ。 １行目の条件式２つからｚを消去して、ｙ＝(ｘの式) という関係が作れます。 これを使ってｙを消去して、Ｆ＝(ｘの式) とできますね。 これでもう後は１変数関数の最大最小の問題です。 ただし、ややこしいのはｘの変域です。 ｘ≧０,ｙ≧０,ｚ≧０と、上で作った関係式からｘの変域を求めてください。 後は自力でやってみよう！ それが君の実力となる！
お礼
お早い回答ありがとうございます。 式２つに対して未知数３つなのでFを変形したりして ｘ≧０,ｙ≧０,ｚ≧０なので２乗か相加相乗だと思ってました；； とりあえず今からやってみます！ ありがとうございました
関連するQ&A
- ……数学Aの問題……
X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい (1) X^2＋Y^2＋Z^2≧XY＋YZ＋ZXを示し、等号が成り立つときの X、Y、Zの条件を求めなさい。 (2)X＋Y＋Z＝1のとき、 XY＋YZ＋ZX≦1/3を示し、 等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。 を、教えてください(泣)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- マセマの合格！数学I・Ａについての質問です。
p40の「相加・相乗平均と最大・最小」の(3)についての質問です。 ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき、次の問いに答えよ。 (3) 1/x+4/y の最小値を求めよ。とあり解答はまず与式にｘ＋ｙをかけて（∵ｘ＋ｙ＝１）相加・相乗を使ってるのですが、自分はそのまま与式に相加・相乗を使ってｘｙの最大値を求め（ｘｙの最大値→1/4）それを代入し最大値を求めたのですが、答えが一致しませんでした。 どうして一致しないのか分かる方がいらっしゃいましたら、ご回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の問題です。
問 x,y,zは実数であるとする。 (1)不等式 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 が成り立つことを示せ。等号が成り立つ場合も調べよ。 (2)x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たすとき、 不等式 -1/8≦xy+yz+zx≦3 が成り立つことを示せ。 (1)は証明できました。 (2)の解説は以下のように参考書に載っていました。 (解説)x+y+z=tとおくと、x^2+y^2+z^2=x+y+zから、 xy+yz+zx=(t^2-t)/2 となるので、 まずtがとりうる値の範囲を調べる。 x^2+y^2+z^2=x+y+z=tを3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 に代入して、3t≧t^2 よって、0≦t≦3 この範囲におけるxy+yz+zx=(t^2-t)/2の増減を調べて(省略) -1/8≦xy+yz+zx≦3を示すことができる。(終) 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしているとき、 x+y+z=tは0以上3以下のある値をとる、 ということはこの解答で証明できていると思うんですが、 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしながら 動くとき、x+y+z=tは0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうることは 証明できていないような気がします。 どうして0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうるといえるんでしょうか。 ぜひ教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ２次関数の問題がわかりません
「(x-1)/2=(y-2)/3=z+1を満足するx,y,zについてx＾2+y＾2+z＾2の最小値，およびそのときのx,y,zの値を求めよ．」 という問題がわかりません 解） (x-1)/2=z+1より x-1=2z+2 x=2z+3 xz=z(2z+3) (y-2)/3=z+1より y-2=3z+3 y=3z+5 yz=z(3z+5) またxy=6x＾2+19x+15 x＾2+y＾2+z＾2=(x+y+z)＾2-2xy-2yz-2zx =(6z+8)＾2-2(xy+yz+zx) =6＾2(z+4/3)＾2-2(6x＾2+19x+15+3z＾2+5z+2z＾2+3z) =6＾2(z+4/3)＾2-2(11z＾2+27z+15) このグラフの頂点は（-4/3,-2(11z＾2+27z+15)）かと思いました． この場合の最小値は0<36より-2(11z＾2+27z+15)であり， これにz=-4/3を代入すればいいのかと思いました． しかし，答えにはx=0,y=1/2,z=-3/2,最小値=5/2とありました． どこがどう間違っているのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題教えて下さい
x>=0,y>=0で２分のx+1=2-3分のｙ＝ｚとする （１）zの値の範囲を求めよ (2) xy+Z^2の最大値と最小値を求めよ。またこのときのx,y,zの値を求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 相加・相乗平均の関係を使った不等式の証明
不等式の証明で、 x,y,zが正の実数で、xyz＞１のとき x^2y+y^2z+z^2x＞xy+yz+zx となることを証明せよ、という問題なのですが、 おそらく左辺を３項の相加・相乗平均の関係を使って 左辺≧3xyzを使うのだろうということ以外分かりません。 ご教授お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
とてもわかりやすい回答ありがとうございました。 普通に消していけばよかったのですね。 これですっきり眠れそうです。 お手数おかけしました