- ベストアンサー
数学の問題です。
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
相加平均・相乗平均を使うにしても、他の回答者が考えているようには、簡単にはいかない。 結構、いやらしい問題だ。 問題Ａ ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝kとすると、条件から、k(xyz-1)＝0。 ・k＝0のとき、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ。常に、絶対不等式：(ｘ＋ｙ＋ｚ)＾2≧3(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)が成立するが、等号は ｘ＝ｙ＝ｚのときだから、つまり、ｘ＝ｙ＝ｚ＝0となり、分母≠0より不適。 ・xyz-1＝0の時、x、y、zは t＾3-kt＾2＋kt-1＝(t-1)*{t＾2+(1-k)t+1}＝0の3つの解だから、題意のとおり、少なくても1つは1に等しい。 問題Ｂ ・x＝1の時、(y＝1でも同じ) ｘｙ＋2ｚ＝ｙ＋2ｚで、yz＝1より、相加平均・相乗平均よりｙ＋2ｚ≧2√2 等号は？ ・z＝1の時、(xy＝1) ｘｙ＋2ｚ＝xｙ＋2＝3 2√2＞3より 最小値は 3. この時、xy＝1、z＝1。
その他の回答 (4)
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
問題Ａ は次のように考えても良い。 ｘ＋ｙ＋ｚ＝（1/ｘ）＋（1/ｙ）＋（1/ｚ）＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝k とする。 Ｐ＝(1-x)*(1-y)*(1-z)＝1-(ｘ＋ｙ＋ｚ)＋(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)-xyz＝1ーk＋k-xyz＝1-xyz 条件式から、k(1-xyz)＝0。 (1) k＝0の時、0＝0/xyz となり不適。 (2) 1-xyz＝0の時、Ｐ＝1-xyz＝0だから、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１に等しい。
お礼
回答ありがとうございました。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
うっかりミスにつき、訂正。 ・x＝1の時、(y＝1でも同じ) ｘｙ＋2ｚ＝ｙ＋2ｚで、yz＝1より、相加平均・相乗平均よりｙ＋2ｚ≧2√2 等号は？ ・z＝1の時、(xy＝1) ｘｙ＋2ｚ＝xｙ＋2＝3 2√2＜3より 最小値は2√2 この時、(x、y、z)＝(1、√2、1/√2)、or、(√2、1、1/√2)。
お礼
回答ありがとうございました。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
問題A （１） 分数を通分して、(i)xyz=1 または (ii)x+y+z=xy+yz+zx=0 を求めてください。 （２） (ii)のときに、3次方程式の解と係数の関係から x,y,z を3解とする t の3次方程式立てると、x,y,z の1つだけが実数で他の2つが複素数になり、問題の条件を満たさないことを示してください。 （3次方程式の判別式が使えるなら、それを使っても構いません。） http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polynomial/discriminant.htm （３） (i)のときに、x+y+z = xy+yz+zx =a とおいて、x,y,z を3解とする t の3次方程式を立ててください。 （４） （３）で立てた t の3次方程式の左辺をf(t)とおいたとき f(1)=0 となることを示してください。 （3次方程式を因数分解してもOKです。） 問題B 問題Aで求めた xyz を使って、相加相乗平均で求められます。
お礼
回答ありがとうございました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
うん, 数学の問題だね. で?
関連するQ&A
- ……数学Aの問題……
X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい (1) X^2＋Y^2＋Z^2≧XY＋YZ＋ZXを示し、等号が成り立つときの X、Y、Zの条件を求めなさい。 (2)X＋Y＋Z＝1のとき、 XY＋YZ＋ZX≦1/3を示し、 等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。 を、教えてください(泣)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の問題です。
問 x,y,zは実数であるとする。 (1)不等式 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 が成り立つことを示せ。等号が成り立つ場合も調べよ。 (2)x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たすとき、 不等式 -1/8≦xy+yz+zx≦3 が成り立つことを示せ。 (1)は証明できました。 (2)の解説は以下のように参考書に載っていました。 (解説)x+y+z=tとおくと、x^2+y^2+z^2=x+y+zから、 xy+yz+zx=(t^2-t)/2 となるので、 まずtがとりうる値の範囲を調べる。 x^2+y^2+z^2=x+y+z=tを3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 に代入して、3t≧t^2 よって、0≦t≦3 この範囲におけるxy+yz+zx=(t^2-t)/2の増減を調べて(省略) -1/8≦xy+yz+zx≦3を示すことができる。(終) 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしているとき、 x+y+z=tは0以上3以下のある値をとる、 ということはこの解答で証明できていると思うんですが、 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=x+y+zを満たしながら 動くとき、x+y+z=tは0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうることは 証明できていないような気がします。 どうして0≦t≦3の範囲の『すべての』値をとりうるといえるんでしょうか。 ぜひ教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高1の数学の問題なんですが・・・
x≧0, y≧0, z≧0で 3x+y-z=5, 4x+y-2z=3が同時に成り立つとき、 F=xy+yz+zx の最大値と最小値、そのときのx,y,zの値を求めよ という問題なんですが、どうしてもわかりません＞＜ 相加相乗の関係を用いるのだと思うのですが係数が邪魔でできません。 気になって夜も眠れないです。どうかお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２次関数の問題がわかりません
「(x-1)/2=(y-2)/3=z+1を満足するx,y,zについてx＾2+y＾2+z＾2の最小値，およびそのときのx,y,zの値を求めよ．」 という問題がわかりません 解） (x-1)/2=z+1より x-1=2z+2 x=2z+3 xz=z(2z+3) (y-2)/3=z+1より y-2=3z+3 y=3z+5 yz=z(3z+5) またxy=6x＾2+19x+15 x＾2+y＾2+z＾2=(x+y+z)＾2-2xy-2yz-2zx =(6z+8)＾2-2(xy+yz+zx) =6＾2(z+4/3)＾2-2(6x＾2+19x+15+3z＾2+5z+2z＾2+3z) =6＾2(z+4/3)＾2-2(11z＾2+27z+15) このグラフの頂点は（-4/3,-2(11z＾2+27z+15)）かと思いました． この場合の最小値は0<36より-2(11z＾2+27z+15)であり， これにz=-4/3を代入すればいいのかと思いました． しかし，答えにはx=0,y=1/2,z=-3/2,最小値=5/2とありました． どこがどう間違っているのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ、ａ(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＝ｘｙｚが成り立つとき、ｘ、ｙ、ｚのうち 少なくとも１つはａであることを証明せよ。 このとき、x+y+z=a , a(xy+yz+zx)=xyz から (x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0 これを展開して、因数分解すると、 (x+y)(y+z)(z+x)=0 x+y+z=aから (a-z)(a-x)(a-y)=0 と解説があったのですが、 (x+y)(y+z)(z+x)=0 x+y+z=aから (a-z)(a-x)(a-y)=0 の部分がよくわかりません。なぜ、x+y+z=aならば(a-z)(a-x)(a-y)=0 なんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。