行列の問題

質問

下記の問題が線形代数の範囲から出題されているのですが、解き方がわかりません。
任意の実数x,y,zに対して、次の不等式が成り立つための実数aの範囲を求めよ。
x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)≧0
ただし、等号はx=y=z=0のとき成り立つ。

回答No.3

pytha

固有値は1-a,1-a,1+2aです。

求め方を説明しますね：

固有方程式は

det（A-xI)=0（Iは単位行列、A=(1 a a,a 1 a,1 a a））

ですから,

X:=1-x　とおくと

X^3-3a^2X+2a^3=0

となります。（行列式の定義に戻るかクラーメルの公式を使ってください。）

因数分解すると

（X-a)^2(X+2a)=0 (因数定理を使ってください。)

⇔X=aまたはX=-2a

⇔x=1-a または x=1+2a

となります。

伝わったでしょうか…

もしよく分からなければ、遠慮なくまた質問してくださいね。

お礼

有難うございます。
ようやく理解できました。
またわからない問題がある時は宜しくお願い致します。

回答No.2

nayamumono

まず、行列にする。

A=(1 a a,a 1 a,1 a a) w=(x,y,z)とすれば

x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)

=(w^t)Aw (w^tは転置行列)

これを標準形になおす。

計算まちがいがなければ

x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)
=(1+2a)(x'^2)+(1-a)(y'^2)+(1-a)(z'^2)≧0

よって1≧a≧-1/2

補足

有難うございます。
計算過程なんですけど、係数行列から固有値を求める際に固有値の値をおしえていただけませんか。
計算がうまくいかないんです・・・

回答No.1

Tacosan

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