線形代数についての質問

質問

線形代数についての問題です

１.二次形式3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zxをtxAxの形で表せ

2.直交変換を用いることにより、二次形式3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zxは正値であることを示せ

3.x^2+y^2+z^2=1のとき、3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zxの最大値・最小値を求めよ

どうぞよろしくお願いします

回答No.1

agoraphobi · ベストアンサー

条件付き極値問題ですね．

（1）
・行列Aの成分をAij（ i, j : 下付き添字）とおいて，txAx を展開して二次形式の形にする．
・二次形式3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx の係数を比較してAijを求める．
　（ここで，非対角成分は一意的に決まらないので，行列Aを対称行列と仮定する．つまり，Aij = Aji ）

（2）
・Aを対角化する．
そのためには，
1．Aの固有値を求める．（固有方程式を解く；det( A - αI ) = 0 ）
2．それぞれの固有値に対する固有ベクトル（ u1,u2,u3 とする）を決める．
　（ 連立方程式 Ax = αx から，x を決める．任意性があるので，{ u1,u2,u3 } が正規直交基底になるように選ぶ．）
3．固有ベクトルをまとめた3×3行列 ( u1 u2 u3 ) = P とすれば，
　　P^-1AP = B（A の固有値を対角成分に持つ対角行列）を得る．
　　ここで，{ u1,u2,u3 } が正規直交基底になるように選んでいるので，P は直交行列になる：P^-1 = tP

・二次形式が『正値』であるとは，零ベクトル o でない任意のベクトルxに対して，txAx > 0 である，ということ．
・txAx = tx P^-1BP x = tx tPBP x = t(Px) B (Px)　（ここで a = Px = t( a, b, c ) （縦ベクトル）とすると）
　　　 = ta B a = a^2・α1 + b^2・α2 + c^2・α3
　と書けるので，「すべてのxに対してtxAx > 0 」 は A の固有値がすべて正であることと同値．

（3）条件付き極値問題
二次形式 txAx の極値の候補は A の固有値で，それぞれの固有ベクトルが極値点の候補となると思う．
実際，
f(x,y,z) = 3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx
g(x,y,z) = 3x^2+y^2+z^2-1
h(x,y,z) = f(x,y,z) -λg(x,y,z)
としてラグランジュの未定定数法によって極値点の候補を割り出す．

しかし，極値の判定は，3変数以上なのでかなり難しい：
f(x,y,z) の主小行列式 Dk(x,y,z)（kは下付き添字; k = 1, 2, 3）の符号で判定します．

1）Dk(x,y,z) > 0 ( k = 1, 2, 3 ) なら，点(x,y,z) は f の極小点．
2）(-1)^kDk(x,y,z) > 0 ( k = 1,2,3 ) なら，点(x,y,z) は f の極大点．
3）Dk(x,y,z) がゼロでなく，1),2) の場合でなければ，f は 点(x,y,z) で極値を取らない．
（詳しくは，解析入門1／杉浦光夫（東京大学出版会）§8，定理8.4系）

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf