線形代数学 ２次形式

質問

次のような問題です。

x^2+(2k)y^2+4z^2-2xz+(2k)yz

(1)行列X=(x,y,z)とするとき、２次形式X(転置)・A・Xでの行列Aを求めよ。
(2)上記の２次形式が正値であるようなkの範囲を求めよ。というもので、(1)で

　　　　　　　　　　　　 1 0　 k
　　　　　　　　　　 A= 0 2k -1　
　　　　　　　　　　　　 k -1 4

　と求めました。自分の考えでは、
ここからkの項をもつ固有値を求めるという手順ではないかと思うのですが、上手く因数分解ができません。それでもこう解くしかないのでしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足質問の回答

>教科書の誤記なのでしょうか？
そう教科書の完全なミスですね。
（授業で訂正しない教師も問題ですね。）

式が正しいとすれば
正しいAは次の通りです。
A=
[a p r]
[p b q]
[r q c]
（教科書はrとqが入れかわっていますね。）

> ３つの正の解をもつ条件とは何なのでしょうか？
> 低レベルな質問をすいません　汗）
そうですね。

> つまり、λの3次式
> f(λ)=det(λE-A)
> ３つの正の解をもつ条件からkの範囲を求めればkの範囲が出てきます。

λをX軸にとって
y=f(λ)=λ^3+(-5-2k)λ^2+(3+10k-k^2)λ+(-6k+k^2)　…(■)
のグラフがλ>0でλ軸(X軸)と3つの点（重複も可能）で交わる場合の条件を考えてください。
λ軸（λ>0）で3点で交わる場合のグラフの形状がどのようでなければならないかを考えればいいです。
y=f(λ)は3次多項式のグラフですから最大3個の交点（重複点を含む）を持たないといけませんが、
f(0)≧0とすると交点の少なくても1つの交点がλ≦0に存在しますので
f(0)<0であることが必要条件です。
(■)から
f(0)=k(k-6)<0　…(●)
からkの範囲の必要条件が求まります。
この条件ではf'(λ)=0は、2正根を持ちますのでf(λ)は極大値と極小値をλ>0に持つことが分かります。また極大値>0、極小値<0が示せますので、おける y=f(λ)がλ>0でλ軸と３つの交点を持つことが導けます。
従って(●)を満たすkは必要かつ十分条件であることが分かります。

つまり、このkの範囲が二次形式が正値となるための範囲になります。

途中の計算は自分で計算してフォローしてやってみて理解してください。

【ポイント】
3次方程式の3正解をもつ条件も、どこかの参考書や公式を丸暗記するのではなく、グラフの形状をよ～く考えて、y切片や極大値、極小値の条件で考えて、理解するようにして下さい。

お礼

丁寧かつ詳細な説明をありがとうございます。応用がきくようにたくさん問題を解きます。

回答No.2

info22

(1)
定義式を見直してみてください。
または
あなたの求めたAから X^t・A・X
を計算し、元の式が得られるか、検算して確認してみてください。
正しくないことに気が付くでしょう。

正解は二次形式の定義式から次のようになります。
A=
[ 1 0 -1]
[ 0 2k k]
[-1 k 4]

(2)
正値の定義を確認して下さい。

固有方程式 det(λE-A)=0
の３つの解である固有値が全て正となる条件からaを求めるだけ。
つまり、λの3次式
f(λ)=det(λE-A)
３つの正の解をもつ条件からkの範囲を求めればkの範囲が出てきます。

分からなければ、自分でやった解答の途中計算を補足に書いて、行き詰っている箇所について質問して下さい。

補足

(1)についてですが、参考にした教科書の定義式には、ax^2+by^2+cz^2+2pxy+2qyz+2rzx　のとき、

A=
[a p q]
[p b r]
[q r c]

と書いてあったのですが、これは教科書の誤記なのでしょうか？検算してみると確かに間違いでした。

(2)について、det(λE-A)=0の途中計算を記します。

det(λE-A)=λ^3+(-5-2k)λ^2+(3+10k-k^2)λ+(-6k+k^2)=0

　ここで、３つの正の解をもつ条件とは何なのでしょうか？二次式では判別式から求まりましたが....。低レベルな質問をすいません　汗）

回答No.1

Tacosan

固有値そのものは必要ではありません.
「任意の正則行列 P に対して A と P^t A P の符号が等しい」という Sylvester の慣性法則を適用するのが簡単でしょうか.
というと難しそうに聞こえるかもしれませんが, 作業としては「平方完成してください」で終わり. つまり, 与式を
a(x+py+qz)^2 + b(y+rz)^2 + cz^2
と変形したときに a, b, c が全て正なら正値です.

お礼

Sylvester の慣性法則...初めて聞きました。調べてみます！