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線形代数>線形変換>表現行列

【問題】  次のR^3→R^3の写像が線形変換かどうか調べよ。もし線形変換ならば、その表現行列も示せ。   x       x+y+z  ( y ) |→ ( 0 )   z       xyz  /* ----------------------------------------------------------------------- */ と言う問題です。 解答例として以下のように挙げられているのですが、解らない部分があります。 /* ----------------------------------------------------------------------- */ 【解答例】   x      x+y+z  f( y ) = (  0  )  とおく。   z       xyz      0      1        1      1+2+1     4 f(( 1 ) + ( 1 )) = f( 2 ) = (  0  ) = ( 0 )    1      0        1      1*2*1     2   0       1      0+1+1     1+1+0     4 f( 1 ) + f( 1 ) = (  0  ) + (  0  ) = ( 0 )   1       0      0*1*1     1*1*0     0 なので、    0      1        0       1 f(( 1 ) + ( 1 )) ≠ f( 1 ) + f( 1 )    1      0        1       0 よって写像の線形性を満たさないので線形変換ではない。・・・(答) /* ----------------------------------------------------------------------- */ 上記解答例の   0         1 ( 1 ) および ( 1 ) はどこからくるのですか?   1         0 あとの部分は解ります。宜しくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

神様が与えてくれたんです. というのは冗談ですが, この変換が「線形変換じゃない」と見たうえで, 「線形変換じゃない」ことを示すために適切と思われるものを任意に選んだだけです. 「それ以外はダメ」というものではありません.

Hitman_JP
質問者

お礼

ありがとうございます。 いわゆる背理法のようなものですね。 参考になりました。

その他の回答 (1)

noname#101087
noname#101087
回答No.2

u =(x y z)^t v = (x+y+z 0 xyz)^t ( )^t は行列転置を示す。 表現行列 F の 1, 2 行目はすぐわかります。 3 行目が怪しいですね。  f(u) = v  |1 1 1|  |0 0 0| = F  |?  ! #| 3 行目は、  ?*x + !*y + #*z = xyz 右辺については、{x,y,z} のうちのどれか一つ(例えば z)が零だと、結果(xyz)は零。 左辺は、たとえ z が零でも (?*x + !*y) が零でなければ、全体(?*x + !*y + #*z) は非零。 これは明らかに非線形。 【解答例】は一例を示すことにより、  f(u1+u2) ≠ f(u1)+f(u2) を証明してるわけです。

Hitman_JP
質問者

お礼

別解の方ありがとうございました。

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