線形変換の問題です

質問

線形代数の線形変換の問題です

　行列 　
　　　 cosπ/4　 -sinπ/4　　　0
　 　sinπ/4　 　cosπ/4　　 0　　
　 　 0 　 　　　　 0 　　　　　 　1　
　　　　　　（3行3列の行列の意味です。かっこが省略されています）　

で表される空間内の線形変換によって次の図形はどのような図形に移されるか。

（1） 直線　ｘ / √2　＝ｙ / 3√2＝ ｚ

（2） 平面　ｘ + ｙ + ｚ ＝ 1

解答は（1）は　直線　ｘ / -2 ＝ ｙ / 4 ＝ 1

（2）は　平面　√2ｙ + ｚ ＝ 1

となっていますが、どのように計算をするのか分りません。

分りやすく教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

M=
[cos(π/4),-sin(π/4),　0]
[sin(π/4), cos(π/4),　0]　　
[　 　 0 ,　　　 0 , 　1]
=
[1/√2,-1/√2,0]
[1/√2, 1/√2,0]
[ 0 , 0 ,1]

M^-1=N=
[1/√2 ,1/√2,0]
[-1/√2,1/√2,0]
[ 0 , 0 ,1]

[x] [X]
[y]=N [Y]=
[z] [Z]

[(X+Y)/√2]
[(Y-X)/√2]
[ Z ]

x=(X+Y)/√2, y=(Y-X)/√2, z= Z …(★)

(1)
> 解答は（1）は　直線　ｘ / -2 ＝ ｙ / 4 ＝ 1
これは間違い↑

　x/√2=y/(3√2)=ｚ
に(★)を代入
　(X+Y)/2=(Y-X)/6=Z
これから
　X/(-2)=Y/4=Z … (答え)

(2)
x+y+z=1
に(★)を代入
　(X+Y)/√2+(Y-X)/√2+Z=1
(√2)Y+Z=1 …　（答え）

お礼

具体的な計算まで教えていただきありがとうございました。

とてもよくわかりました。

なお解答を間違って転記してしまいすいませんでした。

お詫びいたします。

またよろしくおねがいします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

変換の式自体は「点の像」を考えているので、まずは点で考えてみればよいかと。

点(x, y, z)が点(X, Y, Z)に移されるとおけば、変換行列を Aと表して
A(x, y, z)＝ (X,Y,Z)
(x, y, z)＝ A^(-1)(X, Y, Z)

となります。
あとは、もとの点が満たすべき式から、X, Y, Zの関係式を求めるまでです。

ただ、いまの問題ですが、z座標については考えるまでもありませんよね。
となれば、(x, y)だけで考えてもいいかと。

お礼

ご回答ありがとうございます。

逆行列を使うのですね。

よくわかりました。

ありがとうございました。