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……数学Aの問題……
X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい (1) X^2＋Y^2＋Z^2≧XY＋YZ＋ZXを示し、等号が成り立つときの X、Y、Zの条件を求めなさい。 (2)X＋Y＋Z＝1のとき、 XY＋YZ＋ZX≦1/3を示し、 等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。 を、教えてください(泣)
- aibaarashi
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- 数学・算数
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(1)（左辺）-（右辺）=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =(1/2)(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2) =(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2} ≧0（∵(x-y)^2≧0,(y-z)^2≧0,(z-x)^2≧0） よって、x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx なお、等号が成立するのは、 x=y,y=z,z=xすなわちx=y=zのとき。 (2) (1)の結果を使います。 x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx・・・（i） (x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx≧xy+yz+zx 今、x+y+z=1だからこれを上式に代入して、 1≧3xy+3yz+3zx ∴xy+yz+zx≦1/3・・・（ii） 等号成立条件は、(1)よりx=y=zのとき（∵（ii）の証明に（i）式を利用したから、 （ii）の等号成立条件は（i）と同じ） 今題意よりx+y+z=1なので、 x=y=z=1/3
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