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比例式の問題
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(x-2y)/2=(y-2z)/3=(z-2x)/5=k ...(1) とおくと x-2y=2k ...(2) y-2z=3k ...(3) z-2x=5k ...(4) (2),(3),(4)の連立方程式を解くと x=-4k, y=-3k, z=-3k ...(5) (5)より x^2+y^2+z^2=(16+9+9)k^2=34k^2 これは求める式の分母なので ≠0 ⇒ k≠0 ...(6) xy+yz+zx=(12+9+12)k^2=33k^2 k^2(≠0)で約分して ∴ (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)=33/34 ... (Ans.)
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- bran111
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(x-2y)/2=(y-2z)/3=(Z-2x)/5=t x-2y=2t (1) y-2z=3t (2) z-2x=5t (3) (1)+(2)+(3): x+y+z=-10t (4) (4)^2: x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=100t^2 (5) (1)^2+(2)^2+(3)^2: 5(x^2+y^2+z^2)-4(xy+yz+zx)=38t^2 (6) (5)×2+(6): x^2+y^2+z^2=34t^2 (7) (7)→(5) xy+yz+zx=33t^2 (8) もしt=0なら(7)よりx^2+y^2+z^2＝0 このとき、(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)の分母が0となり、無意味、よってt≠0 (7),(8)より (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)=33/34 または(1),(2),(3)から x=-4t,y=-3t,z=-3tを得て、(7),(8)を得てもよい。
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