比例式の問題

質問

(x-2y)/2=(y-2z)/3=(Z-2x)/5の時、(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)の値を求めよと言う問題です。
比例式をイコールｋと置くところまでは、解ります。
よろしくお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

(x-2y)/2=(y-2z)/3=(z-2x)/5=k ...(1)
とおくと
x-2y=2k ...(2)
y-2z=3k ...(3)
z-2x=5k ...(4)
(2),(3),(4)の連立方程式を解くと
x=-4k, y=-3k, z=-3k ...(5)
(5)より
x^2+y^2+z^2=(16+9+9)k^2=34k^2
これは求める式の分母なので　≠0 ⇒ k≠0 ...(6)
xy+yz+zx=(12+9+12)k^2=33k^2
k^2(≠0)で約分して
∴ (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)=33/34 ... (Ans.)

お礼

よく解りました。
ありがとうございます。

回答No.1

bran111

(x-2y)/2=(y-2z)/3=(Z-2x)/5=t
x-2y=2t (1)
y-2z=3t (2)
z-2x=5t (3)

(1)+(2)+(3):
x+y+z=-10t (4)
(4)^2:
x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=100t^2 (5)

(1)^2+(2)^2+(3)^2:
5(x^2+y^2+z^2)-4(xy+yz+zx)=38t^2 (6)

(5)×2+(6):
x^2+y^2+z^2=34t^2 (7)

(7)→(5)
xy+yz+zx=33t^2 (8)

もしt=0なら(7)よりx^2+y^2+z^2＝0

このとき、(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)の分母が0となり、無意味、よってt≠0

(7),(8)より

(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)=33/34

または(1),(2),(3)から
x=-4t,y=-3t,z=-3tを得て、(7),(8)を得てもよい。

お礼

よく解りました。
ありがとうございます。