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最小値の問題

  • 質問No.5621164
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お礼率 59% (526/889)

任意の正の実数x,y,zについて、
x^3+xy^2+yz^2=>kxyzが成り立つとき、kの値の範囲を求めよ。
 次のように考えました。添削等お願いします。また、別解があったら
ご指導お願いします。
両辺をxyzで割ると、x^2/yz+y/z+z/x=>k
相加相乗平均より、
左辺=x^2/yz+y/z+z/(2x)+z/(2x)=>4×(1/4)^(1/4)
等号は、x^2/yz=y/z=z/(2x)=(1/4)^(1/4)のときで、これを満たす
x,y,zが存在する。
よって、k=<2√2。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
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ベストアンサー率 41% (502/1210)

別解というほどのものじゃないが、2変数問題の処理に則って。。。。。。w

y/x=a、z/y=b、x/z=cとすると、abc=1、a>0、b>0、c>0.
x^2/yz+y/z+z/x=c/a+(1/b)+(1/c)=b*c^2+1/b+1/c=f(b)。
f´(b)=(b^2*c^2-1)/(b^2)であるから増減表を書くと、b>0より、b=1/cで最小。
f(1/c)=2c+1/c≧2√2. 等号はc=1/√2。従って、b=√2、a=1. → y=x、z=y√2の時。

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 41% (502/1210)

>0<k<=2√2

嘘だろう、kは 負でも一向に構わない。x>0、y>0、z>0なんだから。
正解は、k≦2√2.
  • 回答No.2

ベストアンサー率 41% (502/1210)

合ってんじゃないの。
但し、等号の成立条件は存在の確認だけでなくて、具体的に示す必要がある。

相加平均・相乗平均で次のようにすると、少しは見通しがよくなるかも。

y/x=a、z/y=b、x/z=cとすると、abc=1、a>0、b>0、c>0.
x^2/yz+y/z+z/x=c/a+(1/b)+(1/c)=c/a+(1/b)+(1/2c)+(1/2c)≧4(4)√(1/4)*(1/abc)。

見かけが違うだけで、大して変んないな。。。。。。。w

今のところ、別解は思いつかない。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (1487/3332)

等号が成り立つとき、具体的にx,y,zを求める必要がある。
x=y,z=√2xが出てくるのでたとえばx=1,y=1,z=√2
0<k<=2√2
お礼コメント
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お礼率 59% (526/889)

ありがとうございます。
等号が成り立つときの処理の仕方がちょっと不安でしたが、
x=y,z=√2xとすればよいのですね。
投稿日時:2010/01/25 10:06
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