数学の質問

質問

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ、ａ(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＝ｘｙｚが成り立つとき、ｘ、ｙ、ｚのうち
少なくとも１つはａであることを証明せよ。

このとき、x+y+z=a , a(xy+yz+zx)=xyz から

(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0
これを展開して、因数分解すると、

(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y+z=aから
(a-z)(a-x)(a-y)=0

と解説があったのですが、
(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y+z=aから
(a-z)(a-x)(a-y)=0

の部分がよくわかりません。なぜ、x+y+z=aならば(a-z)(a-x)(a-y)=0

なんでしょうか。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

そうやって、ゴチャゴチャ式変形してもいいのだけれど、
解と係数の関係から x,y,z が三次方程式
ttt -att +bt -ab = 0 の解であり、
この方程式は解 t = a を持つことを言ったほうが
見通しがよいように思う。

回答No.3

noname#198419

x+y+z=a を移項して、(x+y)(y+z)(z+x)=0の括弧内の項と等しくなる式に変形すれば分かりますよね。

つまり・・・

x+y+z=aを変形させると

(x+y)=a-z
(y+z)=a-x
(z+x)=a-y

となるということで、

(x+y)(y+z)(z+x)=0の(x+y)、(y+z)、(z+x)それぞれ（変数に代入するみたいに）当てはめると解説にある(a-z)(a-x)(a-y)=0が得られます。

回答No.2

wild_kit

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａであるから
ｘ＋ｙ　＝　ｘ＋ｙ＋ｚ－ｚ　＝　ａ－ｚ
ｙ＋ｚ　＝　－ｘ＋ｘ＋ｙ＋ｚ　＝　ａ－ｘ
ｘ＋ｚ　＝　ｘ＋ｙ－ｙ＋ｚ　＝　ａ－ｙ

回答No.1

spring135

>(x+y)(y+z)(z+x)=0
x+y+z=aから
x+y=a-z, y+z=a-x, z+x=a-y

よって

(x+y)(y+z)(z+x)=(a-z)(a-x)(a-y)=0